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$$I=\int\limits_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt=\,?$$
Die Substitution liefert das Differential \(dt\):$$t\coloneqq\sin(y)\implies\frac{dt}{dy}=\cos(y)\implies dt=\cos(y)\,dy$$Die Umkehrfunktion der Substitution liefert die neuen Integrationsgrenzen:$$y=\arcsin(t)\implies y(0)=\arcsin(0)=0\;;\;y(1)=\arcsin(1)=\frac\pi2$$
Damit können wir von der Integrationsvariablen \(t\) zu \(y\) wechseln:$$I=\int\limits_{y(0)=0}^{y(1)=\pi/2}\underbrace{\sqrt{1-\sin^2(y)}}_{=\cos(y)}\,\underbrace{\cos(y)\,dy}_{=dt}=\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2(y)\,dy$$$$\phantom I=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\frac12+\frac12\cos(2y)\right)dy=\left[\frac y2+\frac14\sin(2y)\right]_0^{\pi/2}=\frac\pi4$$
