Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Qualitätskontrolle

Question

Aufgabe:

Im Rahmen einer Qualitätskontrolle wird ein Teil der Produktion einer Unternehmung auf drei unterschiedliche Fabrikationsfehler A, B und C untersucht. Fehler A tritt bei 3%, Fehler B bei 4% und Fehler C bei 10% der untersuchten Güter auf. Bei 1% der untersuchten Produktionsstücke werden die Fehler A und B beobachtet. Fehler C tritt immer alleine auf.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Produktionsstück mindestens einen der beiden Fehler A, B besitzt. Habe dort 6 % rausbekommen.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Produktionsstück weder den Fehler A noch den Fehler C besitzt.

c) Sind die Ereignisse „Ein zufällig ausgewähltes Produktionsstück besitzt den Fehler A“ und „Ein zufällig ausgewähltes Produktionsstück besitzt den Fehler B“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) stimmt. Das geht ja einfach mit dem Additionssatz.

Bei b) arbeitest du einfach mit dem Gegenereignis. Weder Fehler A noch C bedeutet ja \(1-(P(A)+P(C))\), da Fehler \(C\) immer alleine auftritt, ist der Schnitt \(A\cap C\) nämlich leer und die Wahrscheinlichkeit damit 0.

Bei c) prüfst du einfach die Bedingung für Unabhängigkeit \(P(A)P(B)=P(A\cap B)\). Die Angaben kann man alle der Aufgabe entnehmen.

Comments

Danke also bei der c)

P(A)* P(B) = 0,03+0,04= 0,0012 ungleich 0,01

Bedeutet das also es ist  nicht stochstatik unabhängig ?

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Bedeutet das also es ist nicht stochstatik unabhängig ?

Vermeide möglichst doppelte Verneinungen. Es bedeutet also, dass die Ereignisse abhängig sind.

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Ja, du musst aber multiplizieren, nicht addieren. Ach, sehe gerade, ist wohl nur ein Tippfehler. Alles gut. :)

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ja unser prof will das wir das so schreiben..

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Das will er sicher nicht, weil es mathematisch schlicht falsch ist. + ist eben nicht *.

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war bezüglich der doppelten verneinungen vom mathecoach.

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war bezüglich der doppelten verneinungen vom mathecoach.

Dann klingt das nach einem Statistik-Prof. In Statistik muss man an anderer Stelle diese doppelten Verneinungen akzeptieren und darf sie nicht umgehen.

Wenn er es auch hier haben will, dann kann man ihm ja den Gefallen tun.

Answer 2

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Produktionsstück mindestens einen der beiden Fehler A, B besitzt.

P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B) = 0.03 + 0.04 - 0.01 = 0.06

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Produktionsstück weder den Fehler A noch den Fehler C besitzt.

P(nicht A und nicht C) = P(nicht (A oder C)) = 1 - P(A oder C) = 1 - (P(A) + P(C) - P(A und C)) = 1 - (P(A) + P(C)) = 1 - (0.03 + 0.10) = 1 - 0.13 = 0.87

c) Sind die Ereignisse „Ein zufällig ausgewähltes Produktionsstück besitzt den Fehler A“ und „Ein zufällig ausgewähltes Produktionsstück besitzt den Fehler B“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Bei Unabhängigkeit: P(A) * P(B) = P(A und B)
0.03 * 0.04 = 0.0012 ≠ 0.01 → abhängig

Answer 3

nur A: p= 0,02

nur B: p= 0,03

a) P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1- (1-0.2)*(1-0,3) = 4,94%

b) (1-0,2)(1-0,6) = 92,12%

c) Es muss gelten: P(A∩B) = P(A)*P(B)

P(A∩B)= 0,1

P(A)*P(B) = 0,3*0,2 = 0,06  (Widerspruch) -> Abhängigkeit

Comments

Hier steht nichts Richtiges drin, außer der Formel für Unabhängigkeit.

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Wenn ich ein Venndiagramm mache, komme ich auf:

p(A) = 0,03-0,01 = 0,02

p(B) = 0,04-0,01 = 0,03

Wo ist mein Denkfehler?

PS: Ich hatte jeweils eine 0 vergessen bei 0,3 und 0,4, aber mir 0,03 u. 0,04 weitergerechnet.

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p(A) = 0,03-0,01 = 0,02

p(B) = 0,04-0,01 = 0,03

Ist falsch, weil die Werte in der Aufgabe vorgegeben sind. Das, was du berechnet hast, sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass nur A bzw. nur B auftritt.

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Das Gegenereignis ist doch "kein Fehler", oder?

Wenn ich p(A) und p(B) ohne die Schnittmenge berechne, müsste doch dasselbe rauskommen. Warum ist das nicht der Fall?

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes
Produktionsstück mindestens einen der beiden Fehler A, B besitzt.

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Aufgabe:

Fehler A tritt bei 3%,
Fehler B bei 4%

Dein Ergebnis:

p(A) = 0,03-0,01 = 0,02

p(B) = 0,04-0,01 = 0,03

Widerspricht sich doch.

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Ich habe jeweils 1% abgezogen um die Schnittmenge herauszurechnen.

Welchen Widerspruch meinst du?

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Wenn du die Schnittmenge rausrechnest, hast du aber nicht mehr \(P(A)\), weil du ja dann genau den Teil herausgenommen hast, der im Schnitt ist. In Mengen ausgedrückt: Wieso sollte \(P(A)=P(A\setminus B)\) sein? Das wäre nur dann der Fall, wenn der Schnitt leer ist. Ist er aber nicht.

Welchen Widerspruch meinst du?

Uff ... \(P(A)=0,03 \neq 0,02\)! Und für \(B\) dasselbe.

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Den Grund habe ich genannt. Venn-Diagramm

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Auch in einem Venn-Diagramm sieht man, dass die Mengen \(A\) und \(A\setminus B\) nicht gleich sind und somit auch nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

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Um Nur-A zu erhalten, habe ich 0,01 von 0,03 abgezogen, analog für Nur-B.

Was ist daran falsch?

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Ich wiederhole mich. Und was du gemacht hast, hast du nun auch schon zig mal erklärt. Das habe ich schon verstanden, ist aber falsch. Was verstehst du an meinen Ausführungen nicht, auf die du im Übrigen kein einziges Mal eingehst, weil du immer nur sagst, was du gemacht hast...

\( P(A) \) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler A auftritt. Dieser kann zusammen mit oder ohne B auftreten. Wenn du den Schnitt abziehst, dann wird die Wahrscheinlichkeit kleiner. Wenn die Aufgabe sagt, dass die Wahrscheinlichkeit für Fehler A 4 % beträgt, dann darfst du sie doch nicht einfach kleiner maxhen. Mache es mit Zahlen. Von 100 Teilen haben 4 Teile Fehler A, 3 Teile Fehler B und ein Teil beide Fehler. Wie viele Teile haben Fehler A? Nach deiner Argumentation 3, im Widerspruch zur Aussage "haben 4 Teile Fehler A".

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Ich werde versuchen, den Knoten in meinem Kopf zu lösen.

Ich verwechsle da etwas mit einem anderen Sachverhalt.

Danke.