Uneigentliches Integral Konvergenz x^{-a} * sin(x)

Question

Guten Tag,

ich möchte gerne das uneigentliche Integral von \( \int\limits_{0}^{\infty} \)  \( x^{-a} \) * sin(x) dx auf Konvergenz prüfen. In meinem Beispiel ist auch direkt angegeben, dass das Integral bei 0 < a < 2 konvergiert.

Um dies nun zu zeigen, hätte ich das unbestimmte Integral \( x^{-a} \) * sin(x) berechnet und dann damit das uneigentliche Integral berechnet (Obergrenze - Untergrenze, wobei für die Obergrenze b → unendlich verwendet wird.).

Leider habe ich Schwierigkeiten beim Berechnen des unbestimmten Integrals. Ich habe es mit partieller Integration versucht, doch das scheint auch nicht zum Ziel zu führen. Bei diversen Online-Rechnern werden teilweise Funktionen verwendet, welche in meiner Literatur nicht enthalten sind z.B. Integralsinus oder Integralcosinus.

Wie geht man hier vor?

Comments

Wenn Du " nur" auf Konvergenz prüfen sollst, kannst Du versuchen, mit geeigneten Abschätzungen dss Minoranten- oder Msjoranten Kriterium zu verwenden...

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https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Zunächst ist zu prüfen, ob das uneigentliche Integral an der unteren Grenze existiert. Der Integrand hat bei 0 eine stetige Ergänzung, falls a<=1 ist, dann ist das Integral "automatisch" definiert. Für die anderen angegebenen Werte:

$$\forall x>0: \quad x^{-a}\sin(x) \leq x^{-a+1}\\\quad  \text{  und }\int_y^1x^{-a+1}\;dx=\left[\frac{1}{-a+2}x^{-a+2}\right]_y^1 \to \frac{1}{-a+2}\quad (y \downarrow 0)$$

Für das uneigentliche Integral an der oberen "Grenze", also bei "unendlich":

$$\int_1^yx^{-a}\sin(x)\;dx=\left[-x^{-a}\cos(x)\right]_1^y-a\int_1^yx^{-a-1}\cos(x) \;dx$$

Der erste Summan konvergiert für \(y \to \infty\), der zweite ebenso, weil \(x \mapsto x^{-a-1}\) eine integrierbare Majorante ist.

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Vielen Dank!

Answer 2

Hallo Mathe1. Ich reduziere die Komplexität der Aufgabe, indem ich den Fall a = 1 betrachte. Damit integrieren wir die Funktion sin(x) / x. Siehe Wikipedia “Integralsinus”.

Des Weiteren betrachte ich nun nur das Integral von 0 bis 1, also den “linken” Teil des uneigentlichen Integrals. Da sin(x) / x für x gegen 0 gegen 1 geht, gibt es hier keine Polstelle, das Integral ist gar nicht uneigentlich, und daher konvergiert es.

Jetzt betrachte ich das Integral von 0 bis unendlich. Hier hilft der ChatGPT:

Frage:

Integralsinus = Si(x) = Integral von 0 bis x von sin(t) * t dt.

Wie kann ich beweisen, dass der Integralsinus für x gegen unendlich konvergiert?

Antwort:

Um zu beweisen, dass der Integralsinus \( \operatorname{Si}(x) \) für \( x \) gegen Unendlich konvergiert, können wir den Integralsinus als unbestimmtes Integral darstellen:
\( \operatorname{Si}(x)=\int \limits_{0}^{x} \frac{\sin (t)}{t} d t \)

Wir wissen bereits, dass \( \frac{\sin (t)}{t} \) für \( t \rightarrow 0 \) gegen 1 konvergiert. Daher hat der Integralsinus bei \( x= \) 0 eine endliche Grenze.

Um zu zeigen, dass der Integralsinus für \( x \) gegen Unendlich konvergiert, betrachten wir die Ableitung von \( \operatorname{Si}(x) \). Die Ableitung von \( \operatorname{Si}(x) \) ist \( \frac{\sin (x)}{x} \). Da die Funktion \( \frac{\sin (x)}{x} \) für \( x \rightarrow \infty \) gegen 0 konvergiert, impliziert dies, dass der Integralsinus \( \operatorname{Si}(x) \) für \( x \rightarrow \infty \) konvergiert.

Comments

Dss ist kompletter Schwachsinn

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Hallo Mathhilf. Vielen Dank für deine Rückmeldung. Tut mir leid, du hast recht, die Antwort ist falsch. Denn daraus, dass die Ableitung einer Funktion im Unendlichen gegen null geht, kann man nicht schließen, dass die Funktion selber im Unendlichen konvergiert. Ein einfaches Beispiel ist f(x) = ln x mit der Ableitung 1/x. Sorry!

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Ist das die Original Antwort von ChatGPT?

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Diese Antwort habe ich selber geschrieben, ohne jegliches Hilfsmittel. :-)