Lineares Programm aus Ausdruck aufstellen

Question

Aufgabe:

Stellen Sie hierfür lineare Programme auf. Zielfkt. und Nebenbed. müssen linear sein. Nutzen Sie ggf. neue Variablen.

1. $$min_{x\in R^n} ||Ax -b||_1$$

2. $$min_{x\in R^n} ||Ax -b||_\infty$$

Problem/Ansatz:

Hallo, ich wollte fragen, ob mir jemand helfen kann.

Bei der 1. dachte ich mir:

min x_1 + x_2 + ... +x_n

s.t. Ax=b

x ≥ 0

Aber dann geht ja verloren, dass x auch neg. Werte haben kann.

Answer 1

Das kann so nicht stimmen. Wenn \( Ax=b \) gelten muss, wäre die Norm gleich 0. Dafür braucht man dann aber kein lineares Programm, weil das Minimum ebenfalls 0 ist.

Comments

Ja, das ist falsch.

Ich hatte jetzt folgende Idee

Wir wollen folgendes minimieren:

$$min \sum \limits_{i=1}^{m} |(Ax-b)_i|$$

wenn man das jetzt noch anpasst, dass es linear ist:

$$min \sum \limits_{i=1}^{m} y_i \\ s.t. (Ax-b)_i \leq y_i \ \forall i =1,..,m \\ (Ax-b)_i \geq -y_i \ \forall i =1,..,m$$

Macht das mehr Sinn?

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Wenn "beide" Ungleichungen erfüllt sein sollen, muss automatisch Gleichheit gelten.

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Achtung, beim zweiten y_i steht ein minus davor.

Im Prinzip soll das ja nur simulieren, dass y_i der Betrag vom Eintrag (Ax-b)_i ist. Hab dazu ein gutes Skript gefunden, dass die Beispiele sehr gut erklärt hat.

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Ach. Das hatte ich in der Tat übersehen. Entschuldige. :D