Zeigen Sie, dass K[X] ein Ring ist.

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Wir definieren den Ring der formalen
Potenzreihen
$K \llbracket X \rrbracket:=\left\{f=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^{k} \mid a_{k} \in K\right\}$
mit der Addition
$\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^{k}+\sum \limits_{k=0}^{\infty} b_{k} X^{k}:=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right) X^{k}$
und der Multiplikation
$\left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{n} X^{n}\right) \cdot\left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} b_{n} X^{n}\right):=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{i+j=k} a_{i} \cdot b_{j}\right) X^{k} .$

Sei $0 \neq f=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^{k}$, dann definieren wir
$\operatorname{ord}(f):=\min \left\{k \mid a_{k} \neq 0\right\} .$

Wir setzen weiterhin $\operatorname{ord}(0)=\infty$.
1. Zeigen Sie, dass $K[X]$ ein Ring ist.
2. Seien $f, g \in K \llbracket X \rrbracket$. Zeigen Sie, dass ord $(f \cdot g)=\operatorname{ord}(f)+\operatorname{ord}(g)$.
3. Zeigen Sie, dass $1-X$ in $K \llbracket X \rrbracket$ invertierbar ist.

Answer 1

zu 3. vielleicht so:

$f=\sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k})$ und 1 existiert ja in jedem Körper K.

Dann gilt: $(1-x) \dot f =1 \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k}) - x \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k})$

$= \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k}) - \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k+1})$

$=1 + \sum \limits_{k=1}^{\infty} (1 \cdot X^{k}) - \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k+1})$

$=1 + \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k+1}) - \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k+1}) = 1$

Also ist f das Inverse von 1-x.