Aufgabe: Integral ohne Hauptsatz der Integral-/Differentialrechnung lösen
\( \int\limits_{-1}^{1} z^2+4z-3dz\)
Problem/Ansatz:
Also laut Aufgabe darf ich nicht dieses F(OG)-F(UG) rechnen, also bleibt afaik nur die Riemann Summe,
Daher würde ich dann in n-große Intervalle der breite Δz=2/n aufteilen und dann das k-te Teilinterval müsste dann [-1+kΔz,-1+(k+1)Δz] sein oder? Wenn ich dann den Funktionswert ermittel komme ich auf f(-1+kΔz+Δz/2) , wenn ich das dem skript richtig entnommen habe muss ich jetzt den limes der summe der produkte der funktionswerte bilden ???
Es gibt noch einen weg den wir auch nutzen dürfen, dieser ist leider im skript nicht näher/gar nicht erklärt. Die aufgabe sagt wir können es ähnlich diesem Beispiel machen, dieses Beispiel ist aber super kompliziert und ich sehe 0 durch. Ich danke für jegliche Ansätze/Hilfe zum lösen .
Das genannte Beispiel:
\( \begin{array}{l} a=0, b=1, f=\mathrm{Id}, \text { d.h. } f(y)=y . \\ \tau_{n}=\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{n} 1_{\left[\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right)\right.}+1_{\{1\}} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{ } f \quad \text { gleichmäßig } \\ \int \tau_{n}(y) \mathrm{d} y=\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{n}\left(\frac{i}{n}-\frac{i-1}{n}\right)=\frac{1}{n^{2}} \sum \limits_{i=1}^{n} i=\frac{1}{n^{2}} \frac{n(n+1)}{2} \underset{n \rightarrow \infty}{ } \frac{1}{2} .\end{array} \)
