Ist die Menge [0,inf) ABGESCHLOSSEN ODER OFFEN?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich brauche eure Hilfe

Ist die Menge [0,inf) ABGESCHLOSSEN ODER OFFEN?

bitte auch mit Beweis lg

Problem/Ansatz:

Danke

Comments

Das Komplement (-∞,0) ist offen.

---

Was ist da die Regel bzw. der Satz dazu... Wenn das Komplement einer Menge offen ist, dann ist die eigentliche Menge abgeschlossen?

---

Das ist eine der möglichen Definitionen von "abgeschlossen".

Answer 1

Die Menge [0,∞) ist abgeschlossen, weil ihr Komplement (-∞,0) offen ist.

Die Menge [0,∞) ist abgeschlossen, weil alle ihre Häufungspunkte zur Menge gehören.

Schau nach, welche dieser beiden Regeln in deinen Unterlagen steht.

Comments

Frage:

Rein intuitiv würde man doch meinen [0; oo) ist nach oben offen, also nicht abgeschlossen.

Wie erklärt man das einem Nicht-Adepten anschaulich?

---

"offen" ist nicht das Gegenteil von "abgeschlossen"

---

Danke.

Wie kann man sich das am besten anschaulich vorstellen?

Was ist mit Randpunkte konkret gemeint?

Mir ist das hier etwas zu abstrakt:

Ein p ∈ ℝ heißt ein Randpunkt von P, falls für jede Umgebung U von p Punkte x, y ∈ U existieren mit x ∈ P und y ∉ P. Umgebungen von Randpunkten enthalten also immer sowohl Punkte der Menge als auch Punkte ihres Komplements.

---

@ggT22 Dann verzichte doch auf Antworten, deren Begriffe Du selbst nicht verstehst.

Erklärungen und andere Definitionen findest Du leicht im Internet. Bei konkreten Fragen mache gerne eine Frage auf, damit man gezielt antworten kann.

---

Ich gehe davon aus, dass der TS sie versteht, weil er die Materie kennen sollte.

Manche vergessen schlicht zu googlen (z.B. Integralrechner u.a.)

Mir kommen diese Fragen, wenn ich genauer nachdenke und als Laie um Verstehen ringe, was mir leider immer schwerer fällt aus Gründen, die ich nicht wiederholen möchte.

Es gibt Leute, die Abstraktes oft verblüffend anschaulich erklären können.

Zu denen zähle ich hier Tschakabumba, Mathecoach, u.a.

Bei dir fällt mit gerade kein Beispiel ein, aber ich denke, dass du es auch könntest,

wenn du willst. Aber ich will niemanden zu irgendetwas zwingen.

Einen eigenen Thread will ich nicht aufmachen, weil ich denke, dass man das durchaus

nebenbei kurz beantworten kann oder sagen, dass es zu weit führen würde.

---

Rein intuitiv würde man doch meinen [0; oo) ist nach oben offen

Und das Intervall [0; 3) ist demnach nach oben nicht offen, sondern durch die 3 abgeschlossen?

Fachbegriffe haben nicht immer die Bedeutung, die man aufgrund des verwendeten Wortes vermutet.

Anstatt aus der Intuition auf die Bedeutung von Fachbegriffen zu schließen, sollte man deshalb eher aufgrund der Definition des Fachbegriffs eine anschauliche Vorstellung (a.k.a Intution) suchen.

Das ist schwierig.

Was ist mit Randpunkte konkret gemeint?

Das was in der Definition steht.

Mir ist das hier etwas zu abstrakt:

Der Satz "Umgebungen von Randpunkten enthalten also immer sowohl Punkte der Menge als auch Punkte ihres Komplements." sollte das erklären.

Meine Katze steht auf dem Rand des Tisches. Das heißt sie kann sich in eine Richtung bewegen, so dass sie vom Tisch fällt; egal wie wenig sie sich in diese Richtung bewegt.

Übrigens wurden keine Katzen beim Verfassen dieses Kommentars verletzt, sie ist auf ihren Pfoten gelandet.

Answer 2

Eine Teilmenge U ⊆ X wird offen genannt, wenn für jedes x ∈ U ein ε ∈ R+ mit Bε(x) ⊆ U existiert. Sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge V ⊆ X wird (genau dann) als abgeschlossen bezeichnet, wenn ihr Komplement U = X \ V offen ist.

Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn alle ihre Randpunkte zur Menge gehören.

vgl
https://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_offene_Menge

Comments

Es gibt Leute, die Abstraktes oft verblüffend anschaulich erklären können.

Zu denen zähle ich hier Tschakabumba, Mathecoach, u.a.

Die erklären aber nicht "intuitiv", die haben Fachwissen.

Und die Krönung: Auch die beantworten nur Fragen, bei denen sie wissen, dass sie die kompetent beantworten können.

---

"beantworten nur Fragen" -> "lösen nur Aufgaben"

Denn gezielt gestellte Fragen werden ja oftmals ignoriert.