Berechnen Sie die Fläche zwischen beiden Funktionen mit Hilfe des Cavalieri-Prinzips.

Question

Aufgabe

Wir betrachten die Funktionen sin(x) und cos(x) im Intervall von pi/4 bis 5pi/4.

Berechnen Sie die Fläche zwischen beiden Funktionen mit Hilfe des Cavalieri-Prinzips.

Problem/Ansatz:

Ich hätte das so gelöst, dass man ein Integral bildet von -1 bis 1 einer Funkion (…) dy.

Veranschaulicht hat man ja eine Linie, die von -1 bis 1 wandert, und entsprechend die Länge hat, um zwischen der Cosinus und Sinusfunktion zu sein. Diese Länge ist von der y-Position abhängig und stellt eine Funktion dar. Ich habe jedoch keine Ahnung, wie diese Funktion aussieht.

Comments

Am besten teilst du dir den y-Bereich auf :
1) von y = -1 bis -1/√2 , 2) von y = -1/√2 bis 1/√2 , 3) von y = 1/√2 bis 1.

Die in 1) und 3) zu berechnenden Flächen sind gleich groß. Bei 3) ist hier Δx = π - 2*arcsin(y).
Bei 2) ist Δx = π/2.

Answer 1

\(\displaystyle \int \limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}(\sin (x)-\cos (x)) \; d x= \int \limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}} \sin (x)\; d x-\int \limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}\cos (x) \; d x \\\\ =\left(-cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)+cos\left(\frac{1}{4}\pi\right)\right) - \left(sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)-sin\left(\frac{1}{4}\pi\right)\right) \\\\ =\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\\\=\frac{4}{\sqrt{2}} \approx 2,8 \)