Zeige dass B eine Basis für R2 ist

Question

Hey,

In der folgenden Aufgabe, soll ich Nachweisen dass B eine Basis für R2 ist.

Dafür habe ich nachgewiesen dass die Vektoren linear unabhängig ist (det=5≠0). Im folgenden würde ich nachweisen dass dies in ein Erzeugendensystem ist.

x=2α-1β

y=1α+2β

Jedoch weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen muss um zu zeigen dass es sich um ein EZS handelt.

Vielen Dank im Voraus

Text erkannt:

(a) Zeigen Sie, dass
\( \mathcal{B}=\left\{\binom{2}{1},\binom{-1}{2}\right\} \)
eine Basis für \( \mathbb{R}^{2} \) ist.
(b) Bestimmen Sie die Koordinaten von \( \vec{v}=\binom{3}{1} \) bezüglich \( \mathcal{B} \).
(c) Sei \( T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) die lineare Abbildung, die durch \( T(\vec{x})=A \vec{x} \) gegeben ist, wobei
\( A=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) . \)

Finden Sie die Matrix \( B \), die \( T \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B} \) darstellt.

Answer 1

a)

2 linear unabhängige Vektoren spannen einen 2-dimensionalen Raum auf. In diesem Fall den R². Du weißt wie man zeigt, das die Vektoren linear unabhängig sind?

b)

r·[2, 1] + s·[-1, 2] = [3, 1] --> r = 1.4 ∧ s = -0.2 → [1.4, -0.2]

c)

[2, -1; 1, 2]^(-1) = [0.4, 0.2; -0.2, 0.4]

B = [0.4, 0.2; -0.2, 0.4]·[2, -1; 0, 1] = [0.8, -0.2; -0.4, 0.6]

Comments

Dafür habe ich nachgewiesen dass die Vektoren linear unabhängig ist (det=5≠0).

Hast du das gelesen?

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Zwei Vektoren die den R2 aufspannen sind automatisch ein Erzeugendensystem.

Du kannst auch dein LGS

x = 2α - 1β
y = 1α + 2β

nach α und β auflösen und so zeigen das man jede Koordinate (x, y) als Linearkombination der Basisvektoren darstellen kann.

Answer 2

Wenn du die Unabhängigkeit gezeigt hast, bist du schon fertig, denn zwei linear unabhängige Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) bilden automatisch eine Basis (maximal linear unabhängige Menge von Vektoren).