Wie kommt man auf die Wkt. 1/2 und auf diese Aufteilung der Ergebnismenge?

Question

Aufgabe:

Meine Frage wäre, wie man auf diese Aufteilung der Ergebnismenge kommt; also warum bei den Ereignissen A:= B := {1,2,3,4} und bei C:= {1,5,6,7} steht?

Problem/Ansatz:

Und meine andere Frage wäre, wie man unten bei der Berechnung auf 1/2 * 1/2 * 1/2 kommt, also warum die Wkt. für P({1}) nun 1/2 ist?

Text erkannt:

Aufgabe G14
Konstruieren Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, P)$ und nicht unabhängige Ereignisse $A, B, C \subseteq \Omega$ mit
$P(A \cap B \cap C)=P(A) P(B) P(C) .$

Tipp: Je nach Ansatz ist $\Omega:=\{1, \ldots, 8\}$ oder $\Omega:=\{1,2,3,4\}$ ein passender Grundraum.
Vorlesungsabschnitte: bis II.1.6
Lösungshinweise: Wir betrachten die Gleichverteilung $P$ auf $\Omega:=\{1, \ldots, 8\}$ und die Ereignisse $A:=B:=\{1,2,3,4\}$ und $C:=\{1,5,6,7\}$. Dann ist
$P(A \cap B \cap C)=P(\{1\})=\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=P(A) P(B) P(C) .$

Wegen
$P(A \cap B)=P(A)=\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=P(A) \cdot P(B)$
sind die Ereignisse jedoch nicht unabhängig.

Comments

Meine Frage wäre, wie man auf diese Aufteilung der Ergebnismenge kommt.

Durch geschicktes Probieren.

Ich persönlich hätte vermutlich auch mit dem Grundraum {1, ..., 4} angefangen, wenn das schon als Tipp gegeben ist.

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Und meine andere Frage wäre, wie man unten bei der Berechnung auf 1/2 * 1/2 * 1/2 kommt, also warum die Wkt. für P({1}) nun 1/2 ist?

P({1}) = 1/8. Dort steht aber auch nicht 1/2. Schau mal genau hin.

Answer 1

Mir ist gerade noch eine Idee gekommen.

Geht nicht sogar folgendes ganz leichtes Beispiel.

Ω = {1, 2}
A = {1}
B = {1}
C = {}

P(A) = 1/2
P(B) = 1/2
P(C) = 0
P(A ∩ B) = 1/2
P(A ∩ C) = 0
P(B ∩ C) = 0
P(A ∩ B ∩ C) = 0

oder hab ich da jetzt ein Denkfehler drin?

Comments

Ich interpretiere die Aufgabe so, dass die Ereignisse paarweise nicht unabhängig sein sollen. Das ist bei dir aber nicht gegeben. Zum Beispiel sind A und C, aber auch B und C unabhängig.

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Dann empfehle ich dir richtig zu lesen.

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Wo ist das Problem?