) Monotonie und Beschränktheit Funktion

Question

Hallo Mathelounge community,

Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte und mir sagen kann, ob die methode richtig ist oder ab man eine andere anwenden muss.
Danke im voraus!

Aufgabe:

Monotonie und Beschränktheit

(a)
Zeigen Sie, dass die Funktion g : [3,∞) → R mit
g(x) = x^3 − 6x 2 + 9x
streng monoton wächst.

(b)
Untersuchen Sie die Funktion h : R → R mit
h(x) = \( \frac{x}{x^2 +1} \)
auf Beschränktheit.

Problem/Ansatz:

(a)
Um zu zeigen, dass die Funktion
g(x)= x^3 − 6x^2 + 9x
streng monoton wächst, können wir die Ableitung von g(x) berechnen und zeigen, dass sie für alle x ≥ 3^positiv ist.
Die Ableitung von g(x) ist
g′(x)=3x^2−12x+9. Wenn wir g′(x) für x ≥ 3 auswerten, erhalten wir
g′(x)=3(x−1)(x−3).
Da x ≥ 3 , ist g′(x) ≥ 0 , was bedeutet, dass g(x) monoton wächst.

(b)
Die Funktion
h(x)=x^2+1x
ist beschränkt, da der Zähler x durch die Summe von x^2 und 1 geteilt wird. Da x^2 immer positiv oder null ist, ist der Nenner immer größer oder gleich 1. Daher ist der Wert von h(x) immer kleiner oder gleich dem Wert von x und größer oder gleich dem Wert von −x. Daher ist h(x) beschränkt.

Comments

Teil (b) vielleicht besser so: Für alle \(x\in\R\) gilt
\(\begin{aligned}&&\big(\lvert x\rvert-1\big)^2&\ge0\\\iff&&x^2-2\lvert x\rvert+1&\ge0\\\iff&&x^2+1&\ge2\lvert x\rvert\\\iff&&\dfrac12&\ge\dfrac{\lvert x\rvert}{x^2+1}=\lvert h(x)\rvert.\end{aligned}\)

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b)

h'(x)=0 → x=1 oder x=-1

...

H(1|0,5), T(-1|0,5)

Gilt h(x)≤0,5 für alle x?

\(\dfrac{x}{x^2 +1}\le 0,5\) 

\(\Leftrightarrow 2x\le x^2+1\)

\(\Leftrightarrow 0\le x^2-2x+1\)

\(\Leftrightarrow 0\le(x-1)^2\)

Ebenso kann gezeigt werden: h(x)≥-0,5.

Answer 1

Teil a) ist in Ordnung.

Teil b):

Die Funktion
h(x)=x2+1x
ist beschränkt, da der Zähler x durch die Summe von x2 und 1 geteilt wird.

Das ist aber nicht die Begründung. Das so zu formulieren, ist also keine gute Idee. Wäre der Zähler \(x^3\) wäre die Funktion nämlich nicht beschränkt.

Daher ist der Wert von h(x) immer kleiner oder gleich dem Wert von x und größer oder gleich dem Wert von −x.

Die Terme \(x\) bzw. \(-x\) sind aber nicht beschränkt, weshalb mit dieser Formulierung auch nichts nachgewiesen ist. Der Term \(x-1\) ist auch kleiner als \(x\). Dennoch ist er nicht beschränkt.

Lösungsvorschläge für b) stehen in den Kommentaren.

Alternativ: Betrachte das Grenzverhalten für \(|x|\rightarrow \infty\) und bestimme die Extrempunkte. Aufgrund der Stetigkeit von \(h(x)\) folgt dann die Beschränktheit durch die Extrema.

Answer 2

Streng monoton wachsend bedeutet

gibt es zwei Stellen a, b mit a < b → dann gilt f(a) < f(b).

Das ist auch bei f(x) = x^3 erfüllt obwohl f'(0) = 0 ist und die Funktion dort eine waagerechte Tangente hat.

Bei dir spielt es also keine Rolle, dass die Funktion bei x = 3 eine horizontale Tangente hat.

Bei dir gilt

f(3) = 0 und

f(3 + h) = h^3 + 3·h^2

und letzteres ist für h > 0 sicher auch größer als null oder?

Comments

b)

h(x) = x/(x^2 + 1)

h'(x) = (1 - x^2)/(x^2 + 1)^2 = 0 --> x = -1 ∨ x = 1 Nullstellen mit VZW und damit wirkliche Extremstellen. Anhand des VZW kann man auch die Art des Extrempunktes feststellen.

h(1) = 0.5 und wegen der Punktsymmetrie dann auch h(-1) = -0.5. Der Punkt mi der größeren y-Koordinate muss hier der Hochpunkt sein.

-0.5 ist eine untere Schranke und 0.5 ist eine obere Schranke.

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Ohne Betrachtung des Grenzwertverhaltens reicht dies aber nicht.

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Ich denke selbst du siehst, dass das Nennerpolynom von einem höheren Grad ist als das Nennerpolynom und damit der Grenzwert im unendlichen 0 ist.

Und bevor du noch auf die Stetigkeit ansprichst dürftest du auch sehen, dass das Nennerpolynom sicher nie 0 werden kann.

Letzteres hat dir ja auch bereits der Fragesteller verraten, der mit Sicherheit auch gesehen hat, dass das Nennerpolynom einen höheren Grad als das Zählerpolynom hat.

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Es gehört dennoch erwähnt, auch wenn es offensichtlich oder trivial ist. Aus Erfahrung weiß ich, dass solche offensichtlichen Dinge gerne vergessen werden und dann gibt es eben nicht die volle Punktzahl. Wenn du es nicht so genau nehmen möchtest, ist das eben deine Sache. Dass du es anderen aber ebenso vermittelst, finde ich bedenklich.