Nimm dir doch mal die Folge \(A_n=(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n})\) für \(n\in\mathbb{N}\) (ich benutzere andere Notation für offene Mengen weil ich die Notation aus der Frage schrecklich finde, nicht wundern!). Das ist eine monotone Folge von messbaren Mengen (jede Menge ist Teilmenge aller folgenden Mengen), und es gilt \(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n=(0,1)\), es muss also gelten \(\mu((0,1))=\lim\limits_{n\to\infty} \mu(A_n)\). Damit dieser Grenzwert \(>0\) ist, muss also auch ein Folgenglied \(>0\) sein, das ist elementare Analysis.
Falls das nicht klar ist, gehts auch per Hand (im Prinzip der Beweis des oberen Fakts angewendet auf dieses spezielle Beispiel): Definiere \(A_0=\emptyset,B_1=A_1\setminus A_0,\ldots,B_{i+1}=A_{i+1}\setminus A_i\), das sind alles messbare disjunkte Mengen und \(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}B_n=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n=(0,1)\), also gilt also nach der \(\sigma\)-Additivität:
$$0<\mu((0,1))=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(B_n)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\mu(A_{n+1}-\mu(A_n))\stackrel{\text{Teleskopsumme}}{=}\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)-\mu(A_0)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n),$$
und mit dieser Rechnung in der Tasche bist du wieder fertig.
Zur b): Versuch mal, das Intervall \([0,1)\) zu schreiben als abzählbare Vereinigung von Intervallen, die alle den Randpunkt \(0\) nicht enthalten. Scheint ziemlich unmöglich, ist auch so. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die mit \(100%\) Wahrscheinlichkeit den Wert \(0\) hat, also das Dirac-Maß auf \(0\), hat also zum Beispiel diese Eigenschaft, die du suchst.
