Mathe Aufgabe zum Thema der Vektor Geometrie

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

... die Fachbegriffe der Vektorgeometrie und linearen Algebra korrekt verwenden, um mathematische Sachverhalte zu erklären.

Beispielaufgabe:
In den folgenden Berechnungen fehlen die Kommentare, sodass zunächst unklar bleibt, was jeweils berechnet wird.
Gegeben sind die Voraussetzungen unter (1).
a) Beschreiben Sie, was unter (2) und (3) untersucht wird und welche Folgerung sich aus dem Ergebnis schließen lässt.
b) Benennen Sie, welche Forderung an den (noch unbekannten) Vektor \( \overrightarrow{G_{s} H_{t}} \) durch die Bedingungen (4) und (5) gestellt werden.
c) Interpretieren Sie, was letztendlich durch die Berechnung in (6) ermittelt wird.
(1) Gegeben: \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \) und \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}9 \\ -8 \\ 6\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 2\end{array}\right) \), mit \( \mathrm{s}, \mathrm{t} \in \mathbb{R} \)
(2) \( k \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 2\end{array}\right) \neq \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \) für jedes \( k \)
(3) \( \left(\begin{array}{c}9 \\ -8 \\ 6\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \Rightarrow t=-2,5 \quad \Rightarrow s=4 \quad \Rightarrow s=0,5 \)

Text erkannt:

Themen und Übungen: 2. Klausur 2024 Vektorgeometrie (Kel;Lb)
Mathematik Q2
(4) \( 0=\overrightarrow{G_{s} H_{t}} \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9+2 t-0-s \\ -8-3 t+1+s \\ 6+2 t-1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-s+2 t+9 \\ s-3 t-7 \\ 2 t+5\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)=-2 s+5 t+16 \)
(5) \( 0=\overrightarrow{G_{s} H_{t}} \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-s+2 t+9 \\ s-3 t-7 \\ 2 t+5\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 2\end{array}\right)=-5 s+17 t+49 \)
(6) Aus LGS (4) und (5) folgt \( \mathrm{s}=3 \) und \( \mathrm{t}=-2 \Rightarrow\left|\overrightarrow{G_{3} H_{-2}}\right|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}=3 \) LE
... hilfsmittelfreie Aufgaben Iösen.
Seite 344ff/A4, A6, A7, A9, A11, A12, A14, A15, A16, A18, A19, A20, A21, A22

Problem/Ansatz:

Hilfe bei dieser Aufgabe

Answer 1

Hallo

 1. nur zu a) sind die aufgaben im bild.

1) die beiden Richtungsvektoren der 2 Geraden sind nicht proportional. Was heisst das für ihre Richtung? das weisst du sicher.

2. wenn man die Geraden gleichsetz , also einen Schnittpunkt sucht, findet man für die einzelnen Komponenten verschiedene s Werte, Was kannst du daraus schließen? schneiden sich die Geraden oder nicht wie nennt man 2 Geraden im R^3 die sich nicht schneiden?

Gruß lul

Answer 2

a)

In (2) wird untersucht, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind bzw. ob die Geraden echt oder unecht parallel liegen. Da das nicht der Fall ist können sich die Geraden schneiden oder windschief liegen.

In (3) wird geprüft ob die Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Da dies nicht der Fall ist liegen die Geraden windschief zueinander.

b)

Die Bedingungen in (4) und (5) sind, dass der Verbindungsvektor senkrecht zur Geraden g und h liegen muss.

c)

In c) wird letztendlich der Abstand zweier windschiefer Geraden ermittelt. Die Geraden haben einen Abstand von 3 LE.