Zeige, dass s(x) und f(x) an der Stelle x = 2 ineinander übergehen.

Question

Aufgabe:

Zwischen zwei Orten A und B soll eine neue Straße gebaut werden. Zum Ort A führt eine Straße, die nach Einführung eines Koordinatensystems durch die Gleichung
s(x) = 3x* - x? beschrieben werden kann. Dabei zeigt die y-Achse nach Norden,
die x-Achse nach Osten. Der Ort A liegt im Wendepunkt von s(x). Hieran soll sich knickfrei die neue Straße f(x) anschließen, die durch ein Polynom 3. Grades modelliert werden soll. Zwischen den Orten A und B liegt das Dorf C(10 | 0), das mit angeschlossen werden soll. Die Straße f endet im Ort B(16 | -22,5).

a) Zeige, dass s(x) und f(x) an der Stelle x = 2 ineinander übergehen.
b) Bestimme die Gleichung der Funktion f(x).

Problem/Ansatz:

Wie kann ich zeigen, dass sie knickfrei ineinander übergehen, ohne das ich die Funktion weiß?

Comments

Mach dir eine Skizze!

s(x) = 3x* - x?

Steht da wirklich ein Sternchen im Exponenten? Sowas sehe ich zum ersten Mal.

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s(x)=1/6x^3-x^2 !!!

Answer 1

Der Ort A liegt im Wendepunkt von s(x).

\(s(x)=\frac{1}{6}x^3-x^2 \)

\(s'(x)=\frac{1}{2}x^2-2x\)

\(s''(x)=x-2\)

\(x-2=0\)

\(x=2\)     \(s(2)=\frac{1}{6}\cdot2^3-2^2=-\frac{8}{3} \)

\(A(2|-\frac{8}{3})\)

Knickfrei anbinden heißt, dass die Steigungen in s(x)  und f(x) gleich sein müssen.

\(s'(2)=\frac{1}{2}\cdot 2^2-2\cdot 2=-2\)

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

1.)

\(A(\red{2}|-\frac{8}{3})\) liegt auf dem Graphen von f(x)

\(f(2)=a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot2+d\)

\(a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot2+d=-\frac{8}{3})\)

2.)

\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(f'(\red{2})=3a\cdot 2^2+2b\cdot2+c=-2\)

3.) und 4.) Die Punkte B und C liegen auf dem Graphen.

Answer 2

Erstmal stets eine Skizze anfertigen.

Dann genau lesen: in a) steht nichts von "knickfrei". Hier ist zu zeigen, dass s in x=2 einen Wendepunkt hat. Dazu musst Du f nicht kennen.

In b) sollst Du f bestimmen. Polynom vom Grad 3 heißt 4 Unbekannte. Du hast vier Angaben: drei Punkte, sowie wg knickfrei die Ableitung im Punkt A. Passt also. Gleichungen aufstellen, lösen, fertig.

Answer 3

s (x) = 1/6*x^3 -x^2
s ´( x ) = 1/2 x^2  -2x
s´´ ( x ) = x - 2

Wendepunkt ( A ) ( 2 | -8/3)

f ( x ) = ax^3+ bx^2 + c*x + d
f´ ( x ) = 3a *x^2 + 2b * x + c
f´´ ( x ) = 6a *x + 2*b =
s´´ ( 2 ) = f´´ ( 2 ) = 12a + 2b = 0

( A ) : f ( 2 ) = - 8/3
( B ) : f ( 16 )  = - 22.5
( C ) : f ( 10 ) = 0
s´´ ( x ) = x -2
s´´ ( 2 ) = x -2 = 0

f ( 2 ) = a*2^3 + b*2^2+ c * 2 + d = -8/3
f ( 16 ) = a *16^3 + b*16^2 + c * 16 + d = -22.5
f ( 10 ) = a * 10^3 + b*10^2 + c * 10 + d = 0
s´´ ( 2 ) = f´´ ( 2 ) = 12a + 2b = 0

Geht gleich weiter.

Comments

Irgendwo muß noch ein Fehler stecken.
Ich weiß nur noch nicht wo.
Bei Bedarf wieder melden.

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Vielen Dank!

Answer 4

a) Zeige, dass s(x) und f(x) an der Stelle x = 2 ineinander übergehen.

s(x) = 1/6·x^3 - x^2
s'(x) = 1/2·x^2 - 2·x
s''(x) = x - 2 = 0 → x = 2

Damit ist der Wendepunkt A an der Stelle 2 an dem die Funktionen ineinander übergehen sollen.

b) Bestimme die Gleichung der Funktion f(x).

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle.

Eigenschaften
f(2) = s(2) = -8/3
f'(2) = s'(2) = -2
f(10) = 0
f(16) = -22.5

Gleichungssystem
8·a + 4·b + 2·c + d = -8/3
12·a + 4·b + c = -2
1000·a + 100·b + 10·c + d = 0
4096·a + 256·b + 16·c + d = -45/2

Errechnete Funktion
f(x) = -1/24·x^3 + 7/8·x^2 - 5·x + 25/6

Skizze

~plot~ (1/6x^3-x^2)(x<=2);(-1/24x^3+7/8x^2-5x+25/6)(x>=2);{2|-8/3};{10|0};{16|-22.5};[[-1|31|-23|1]] ~plot~