Zeigen Sie: Ringhomomorphismus

Question

Aufgabe:

Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Für ein Polynom
p=a_m t^m + a_m-1t^m-1+...+a₁t+a₀t⁰ ∈R[t]
und A ∈ R^n,n definieren wir p(A) ∈ R^n,n durch
p(A):=a_mA^m +a_m-1A^m-1+...+a₂A² +a₁A+a₀I_n.
(Formal wird t durch A ersetzt und dann t^k durch A^k, k = 0,1,...,m.)

Für eine feste Matrix A ∈ R^n,n sei die Abbildung f_A: R[t] → R^n,n p |→ p(A), gegeben. Zeigen Sie:

(i) Für alle p, q ∈ R[t] gelten f_A(p + q) = f_A(p) + f_A(q) und f_A(pq) = f_A(p) f_A(q). (Die Abbildung f_Aist ein Ringhomomorphismus.)
(ii) Für alle B, C ∈ f_A(R[t]) gilt CB = BC.
Untersuchen Sie in Abhängigkeit von n, ob da  surjektiv ist.

Ich saß eine Weile an der Aufgabe, ohne wirkliche Fortschritte. Daher wäre ich für jede Hilfe äußerst dankbar.

Answer 1

\(\begin{aligned} & & & f_{A}\left(\sum_{i=0}^{n}p_{i}t^{i}+\sum_{i=0}^{n}q_{i}t^{i}\right)\\ & \text{Definition Addition in }R\left[t\right] & = & f_{A}\left(\sum_{i=0}^{n}\left(p_{i}+q_{i}\right)t^{i}\right)\\ & \text{Definition }f & = & \sum_{i=0}^{n}\left(\left(p_{i}+q_{i}\right)A^{i}\right)\\ & \text{Distributivgesetz im Modul }R^{n\times n} & = & \sum_{i=0}^{n}\left(p_{i}A^{i}+q_{i}A^{i}\right)\\ & \text{Kommutativgesetz }+ & = & \sum_{i=0}^{n}p_{i}A^{i}+\sum_{i=0}^{n}q_{i}A^{i}\\ & \text{Definition }f & = & f_{A}\left(\sum_{i=0}^{n}p_{i}t^{i}\right)+f_{A}\left(\sum_{i=0}^{n}q_{i}t^{i}\right)\end{aligned}\)