Eindeutigkeit der Jacobimatrizen

Question

Hi,

ich habe eine Frage zu einen Beweis aus der VL. Ich war an dem Tag leider nicht da und konnte nicht nachfragen. Brauche es aber für heute.

Es ging um den Eindeutigkeitsbeweis einer Ableitungsmatrix einer differenzierbaren Abbildung. Man nimmt ja erstemal an, das eine diff. Abbildung zwei Ableitungsmatrizen hat und zeigt dann die Gleichheit. Warum folgt hier aber die Implikation, wo ich ein rotes Fragezeichen hingemalt habe?

Comments

Was ist denn \(d_{fx_0}\) und \(d^*_{fx_0}\)? Vollständige Def. bitte.

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Das sind die Ableitungsmatrizen von der diff. Funktion f, die in einem Punkt x_0 differenzierbar ist. Man nimmt ja zuerst an, es gäbe zwei und zeigt dann das die dieselben sind.

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Da war ein Denkfehler drin, daher entfernt und als Kommentar. :)

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So weißt du zunächst nur, dass \(0\leq ||d_{f_{x_0}} -d^*_{f_{x_0}}||\).

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Aber was ist denn die Norm einer Matrix?

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@Txman
Wenn du Zettel und Stift in die Hand nimmst, und meinen Lösungsvorschlag durchrechnest, brauchst du keine Matrixnorm.

Die Rechnung selbst passt auf eine Zeile.

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Das hat allerdings rein gar nichts mit der Frage zu tun, warum die obige Implikation gilt. Und genau das ist hier nun einmal die Frage des FS. Dass man die Eindeutigkeit auf andere Weise beweisen kann, spielt hier doch erst einmal keine Rolle.

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@Apfelmännchen
Dann hast du meinen Lösungsvorschlag wahrscheinlich auch noch nicht durchgerechnet.

Wenn der angegebene Grenzwert für \(x\to x_0\) existiert, dann existiert er auch für \(x(h) = x_0 + h e_k\) für \(h \to 0\).

Wenn man dies in den linken Ausdruck einsetzt, erhält man sofort, dass die \(k\)-te Spalte der Differenzmatrix \(d_{f_{x_0}} -d^*_{f_{x_0}}\) gleich dem Nullvektor sein muss.

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Ah okay. Jetzt leuchtet das ein. Danke. :)

Answer 1

Eine Variante, um die Eindeutigkeit zu sehen, ist die folgende:

Wir nennen den \(k\)-ten Einheitsvektor \(e_k\).

Dann setze mal \(x=x_0 + he_k\) und schau, was für \(h\to 0\) passiert.