Bestimmen Sie den Erwartungswert von X_{1}^{2}+X_{2} .

Question

Aufgabe:

Aufgabe c)

Problem/Ansatz:

Weiß jemand wie diese Aufgabe geht?

Text erkannt:

\( \rightarrow \) Zahl in Feld eintragen
c) Man ziehe zwei Zahlen \( X_{1} \) und \( X_{2} \) unabhängig und stetig gleichverteilt aus \( [1,2] \). Bestimmen Sie den Erwartungswert von \( X_{1}^{2}+X_{2} \).
\( \rightarrow \) Zahl in Feld eintragen

Answer 1

Linearität und Transformationsregel des Erwartungswertes ausnutzen. Oder direkt mit der Definition arbeiten, da die Dichtefunktion einer stetigen Gleichverteilung konstant ist und man das Integral damit leicht berechnen kann.

Wo genau hängst du fest?

Comments

Ist das dann so richtig?

Text erkannt:

c) \( E\left[X_{1}^{2}+X_{2}\right] \)
\( [1,2] \)
\( E[X]=\frac{a+b}{2} \)

I Erwartungswert bei stetiger Gleichvertei(ung)
\( E\left[x_{1}^{2}+x_{2}\right] \) | linearität anwenden
\( \begin{array}{l} =E\left[X_{1}^{2}\right]+E\left[X_{2}\right] \\ =\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a+b}{2}\right) \\ =\left(\frac{1+2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1+2}{2}\right) \\ =3.75 \end{array} \)

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Nein, der Erwartungswert von \(X^2\) kann so nicht berechnet werden.

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Und wie dann?

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\(E(g(X))=\int\!g(x)f(x)\,\mathrm{d}x\)

Answer 2

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte lautet:$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text{für }1\le x\le2\\0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$

Das heißt für die Erwartungswerte:$$\left<X\right>=\int\limits_1^2x\cdot f(x)\,dx=\int\limits_1^2x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac42-\frac12=\frac32$$$$\left<X^2\right>=\int\limits_1^2x^2\cdot f(x)\,dx=\int\limits_1^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2=\frac83-\frac13=\frac73$$

Das heißt für den gesuchten Erwartungswert:$$\left<X_1^2+X_2\right>=\left<X_1^2\right>+\left<X_2\right>=\frac73+\frac32=\frac{23}{6}$$

Comments

Danke, aber lautet der Erwartungswert bei einer stetigen Gleichverteilung nicht

E[X] = a+b/2 ?

Vielleicht vertue ich mich auch gerade:)

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Rechne mal nach:$$\left<X\right>=\frac{a+b}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac32\quad\checkmark$$Du hast also recht. Ich habe das nur allgemein gemacht, denn beim Erwartungswert \(\left<X^2\right>\) gilt dieser einfache Zusammenhang nicht mehr.