Berechne die Nullstellen der Funktionen.

Question

Ja Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Folgende Funktionen sollen untersucht werden:
\( \begin{array}{l} f(x)=x^{3}-x^{2} \\ g(x)=x^{3}+x^{2}-x \\ h(x)=x^{3}+x^{2}-x-1 \\ k(x)=a \cdot h(x), a>0 \end{array} \)
a) Berechne die Nullstellen der Funktionen.
b) Beschreibe, was sich durch den Faktor a bei der Funktion \( k(x) \) im Vergleich zu der Funktion h( \( x \) ) verändert.

Answer 1

1+2) Ausklammern und Satz vom Nullprodukt.

3) \(x=1\) ist Nullstelle. Führe eine Polynomdivision durch.

4) Satz vom Nullprodukt.

Answer 2

$$\begin{aligned} h(x)&=x^{3}+x^{2}-x-1\\   &=x^{3}-x+x^{2}-1\\   &=x\cdot\left(x^{2}-1\right)+x^{2}-1\\   &=\left(x+1\right)\cdot\left(x^{2}-1\right)\\   &=\left(x+1\right)\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right) \end{aligned}$$Lies die Nullstellen ab.

Comments

So elegant geht es natürlich auch. Doch sind Aufgaben mit solchen Zahlen eher die Ausnahme als die Regel. Man muss einen guten Blick haben.

Wieviel von 10 Schülern wohl darauf kommen=

Answer 3

1) x^3-x^2 = 0

x^2(x-1) = 0

x=0 v x=1

2) x(x^2+x-1) = 0

x1= 0

pq-Formel: x^2+x-1 =0

x2/3 = -0,5+-√(0,5^2+1) = -0,5+-√1,25 = ...

3) Polynomdivision: x= 1 ist geratene Nullstelle:

x^3+x^2-x-1 : (x-1)  = ...

oder: Näherungsverfahren oder Cardano-Formel:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/cardanische-formel

5) ...

b) a streckt oder staucht die Funktion:

|a| < 1 -> Streckung

|a| > 1 -> Stauchung

Answer 4

3) Polynomdivision: x= 1 ist geratene Nullstelle:

   \((x^3+x^2-x-1) : (x-1)=x^2+2x+1\)

\(- (x^3-x^2) \)

------------------------

            \(2x^2-x\)

       \(- (2x^2-2x) \)

------------------------

                        \(x-1\)

                   \(-(x-1)\)

            ------------------------

                        \(0\)

\(x^2+2x+1=0\)

\((x+1)^2=0\)

\((x+1)^2=0\)

\(x=-1\) ist eine doppelte Nullstelle