Exponentialgleichung lösen - ist es erlaubt durch e^4x zu teilen?

Question

Aufgabe:

3e^4x-2/7e^2x=0

Problem/Ansatz:

3e^4x=2/7e^2x

10,5e^4x=e^2x

10,5=e^2x/e^4x

10,5=e^0,5x

ln(10,5)=0,5x

ln(10,5)/0,5=x

Darf ich die Aufgabe so lösen und durch e^4x teilen, weil das ja immer ungleich 0 ist?

Oder ist das so mathematisch falsch und ich muss Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden?

Comments

Grundsätzlich kannst Du so vorgehen. Aber: Es gilt

$$\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$$

Answer 1

Darf ich die Aufgabe so lösen und durch e4x teilen, weil das ja immer ungleich 0 ist?

Ja, das darfst du.

Allerdings ist \(\frac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{4x}}=\mathrm{e}^{-2x}\). Ansonsten stimmt deine Rechnung.

Comments

Ansonsten stimmt deine Rechnung.

Bist du dir da sicher?

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Ja, bin ich. Oder was ist deiner Meinung nach nicht korrekt?

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Schau mal hier:

In dem Rechenweg des Fragestellers muss demnach irgendwo ein Fehler stecken.

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Bis auf den genannten Fehler ist alles korrekt. Ist der Begriff "ansonsten" nicht bekannt?

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Folgefehler entstehen, wenn man einen Fehler gemacht hat, dann aber richtig weiterrechnet. Die Ergebnisse sind dann trotzdem falsch.

Folgefehler werden natürlich nur einmal als Fehler gewertet und das richtige Weiterrechnen wird nicht mehr als Fehler gerechnet, obwohl es auch falsch ist.

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Da hab ich wohl nicht richtig hingeschaut.

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Hätte der FS den von mir genannten Fehler nicht gemacht, wäre er auf genau dieses Ergebnis gekommen. :)

Schön, dass wir das klären konnten.

Answer 2

Lösungsweg mit Ausklammern:

\(3e^{4x}-\frac{2}{7}e^{2x}=0\)

\(e^{2x}(3e^{2x}-\frac{2}{7})=0\)

\(e^{2x}≠0\)

\(3e^{2x}-\frac{2}{7}=0\)

\(e^{2x}=\frac{2}{21}\)

\(2x\cdot \ln(e)=\ln(\frac{2}{21})\)     mit \(\ln(e)=1)\):

\(x=\frac{\ln(\frac{2}{21})}{2}≈-1.18\)

Answer 3

e^(2x) ausklammern:

e^(2x)*(3*e^(2x)- 2/7)= 0

3*e^(2x)- 2/7 = 0

3e^(2x)  =2/7

e^(2x) = 2/21

e^(2x) = 2/21

2x = ln(2/21)

x = ln(2/7)/2 = (ln2-ln21)/2 = - 1,17568...

oder mit Substitution:

e^(2x) = z

3z^2- 2/7z = 0

z(3z -2/7) = 0

z1=0

z2 = 2/21

resubstituieren:

e^(2x) = 0 -> keine Lösung

e^(2x) = 2/21

2x = ln 2/21

x= (ln 2/21)/2

oder durch e^(2x) teilen:

3e^(2x) - 2/7 = 0

....