Question

Wie löst man folgende LGS mit Parameter? Und kann jemand zumindest für eine Aufgabe dort unten die einzelnen Rechenschritte erklären und wie man allgemein bei so etwas vor geht?

(Aufgabenstellung: Für welche Werte des Parameters a ∈ ℝ liegt eine eindeutige Lösbarkeit vor?

1)

3x + 4y = 7

2x - 6y = a + 12

2)

ax + 2y = 5

8x + ay = 10

Answer 1

1. Möglichkeit:

Man löst das LGS wie gewohnt nach \(x\) und \(y\) auf. Es ist dann eindeutig lösbar, wenn die Wahl von \(a\) NICHT zu einem Widerspruch wie \(1=2\) oder zu einer immer wahren Aussage wie \(0=0\) führt.

2. Möglichkeit:

Man löst beide Gleichungen nach \(y\) auf und fasst diese dann als Geradengleichungen auf. Das LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Steigungen der Geraden NICHT identisch sind (die Steigung ist der Koeffizient von \(x\)).

3. Möglichkeit:

Man erkennt durch scharfes Hinsehen den Zusammenhang. Bei deinem zweiten Beispiel kann man \(a\) so "ablesen", dass die zweite Gleichung das Doppelte der ersten Gleichung ist. Für dieses \(a\) liefert das LGS keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele Lösungen.

Comments

Ich bin verwirrt, wann genau sieht man, dass das LGS keine Lösung hat? (während dem Umformen, wenn eine falsche Aussage entsteht, wie z.B. 0y = 8 oder?)

Für den Fall, dass es unendlich viele Lösungen hätte, sieht man das während der Umformung, wenn eine Nullzeile entsteht?

Und wenn bei beiden Gleichungen doch eine wahre Aussage herauskommt (nach dem man sein berechnetes x und y reinsetzt), dann spielt es doch keine Rolle was man für a einsetzt oder? Kann es noch zu einem Widerspruch kommen, wenn man x und y berechnet hat und es dann in die original Gleichungen einsetzt?

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Ja, wenn schon während des Umformens ein Widerspruch entsteht, dann gibt es keine Lösung.

Und ja, wenn während des Umformens eine Nullzeile entsteht, dann bedeutet das ja (wenn man das Additionsverfahren anwendet), dass man dann nur noch eine Gleichung mit zwei Unbekannten hat. Das ist dann aber für unendlich viele Paare von Werten lösbar.

Es kann durchaus sein, dass ein LGS auch für unendlich viele \(a\) lösbar ist. Betrachte zum Beispiel

\(x+ay=1\)

\(x-ay=1\)

Dieses LGS hat für alle \(a\in\mathbb{R}\) die Lösung \(x=1\) und \(y=0\).