Wachstum und Zerfall (exponentiell). Holzbestand eines Waldes, Neuwert Maschine, Kaffee

Question

Wachstum und Zerfall (exponentiell) Übungsaufgaben:

1. Der Holzbestand eines Waldgebietes wächst exponentiell. Vor 5 Jahren waren es \( 77000 \mathrm{~m}^{3} \) Holz. Heute sind es \( 85000 \mathrm{~m}^{3} \) Holz.

(a) Wie viel Holz ist voraussichtlich in 10 Jahren vorhanden?

(b) Wie viel Holz waren vor 10 Jahren vorhanden?

2. Eine Maschine hat einen Neuwert von Fr. \( 270000 .-. \) Jedes Jahr wird sie um \( 10 \% \) des Vorjahreswertes abgeschrieben.

(a) Welchen Wert hat die Maschine nach 10 Jahren.

(b) Nach wie vielen Jahren besitzt die Maschine noch einen symbolischen Wert von einem Franken? (Löse durch probieren)

3. Die Temperatur eines frisch zubereiteten Kaffees beträgt \( 85^{\circ} \mathrm{C} \). Nach 10 Minuten beträgt sie noch \( 60^{\circ} \mathrm{C} \). Welche Temperatur hat der Kaffee nach 30 Minuten, wenn die Raumtemperatur konstant \( 20^{\circ} \mathrm{C} \) beträgt? Zusatzfrage:Wie viele Minuten nach der Zubereitung sinkt die Temperatur des Kaffees unter \( 25^{\circ} \mathrm{C} ? \)

Answer 1

zu 1)

Ich lass mal die Nullen weg, die stören nur :-)

Zunächst den "Zinssatz" x bestimmen:

85 = 77 ( 1 + x ) ⁵

<=> 85 / 77 = ( 1 + x ) ⁵

<=> ⁵√ (85 / 77 ) = 1 + x

<=> x = ⁵√ (85 / 77 ) - 1 ≈ 0,02 = 2 %

Der Holzbestand nimmt also in jedem Jahr um 2 % zu

a)

Bei einem Zuwachs von 2 % pro Jahr und einem heutigen Bestand von B ( 0 ) = 85 beträgt der Bestand in 10 Jahren:

B ( 10 ) = B ( 0 ) * ( 1 + 0,02 ) ¹⁰

= 85000 * 1,02 ¹⁰

≈ 103614,5 m ³

b)

Vor zehn Jahren betrug der Bestand:

B ( -10 ) = B ( 0 ) * ( 1 + 0,02 ) ^{- 10}

= 85000 * 1.02 ^{- 10}

≈ 69729,6 m ³

 

zu 2)

Der "Zinssatz" beträgt

 x = - 10 % = - 0,1

Also:

a)

Wert ( 10 ) = Wert ( 0 ) * ( 1 - 0,1 ) ¹⁰

= 270000 * 0,9 ¹⁰

≈ 94143,18 Franken

b)

Probieren ist nicht so mein Ding, ich rechne lieber:

270000 * 0,9 ^t  = 1

<=> 0,9 ^t = 1 / 270000

<=> log ( 0,9 ^t ) = log ( 1 / 270000 )

<=> t * log ( 0,9 ) = log ( 1 / 270000 )

<=> t = log ( 1 / 270000 ) / log ( 0,9 ) ≈ 118,7 

Also: Nach etwa 118,7 Jahren hat die Maschine noch einen Wert von einem Franken.

 

zu 3)

Hier liegt ein nach unten begrenzter Zerfallsprozess vor. Die Temperatur ist nach unten durch die Raumtemperatur R beschränkt. Es gilt:

T ( t ) = R + ( T(0) - R ) * ( 1 + x ) ^t

Mit den Angaben der Aufgabenstellung ist also zunächst wieder der Zinssatz x zu bestimmen:

Es soll gelten:

T ( 10 ) = 60

<=> 20 + ( 85- 20 ) * ( 1 + x ) ¹⁰ = 60

<=> 65 ( 1 + x ) ¹⁰ = 40

<=> ( 1 + x ) ¹⁰ = 40 / 65

<=> 1 + x = ¹⁰√ ( 40 / 65 )

<=> x = ¹⁰√ ( 40 / 65 ) - 1  ≈ - 0,0474

Somit lautet die Gleichung für die Temperatur des Kaffees bei R = 20 und T(0) = 85:

T ( t ) = 20 + ( 85 - 20  ) * ( 1 - 0,0474 ) ^t

= 20 + 65 * 0,9526 ^t

Damit lässt sich die Temperatur nach t = 30 Minuten berechnen:

T ( 30 ) = 20 + 65 * 0,9526 ³⁰ ≈ 35,14 °C

Zusatzfrage: Zu welchem Zeitpunkt t erreicht der Kaffee die Temperatur T ( t ) = 25 ?

25 = 20 + 65 * 0,9526 ^t

<=> 5 = 65 * 0,9526 ^t

<=> 0,9526 ^t = 5 / 65

<=> log ( 0,9526 ^t ) = log ( 5 / 65 )

<=> t * log ( 0,9526 ) = log ( 5 / 65 ) 

<=> t = log ( 5 / 65 ) / log ( 0,9526 ) = 52,82

Also: Nach 52,82 Minuten sinkt die Temperatur auf unter 25 °C