Hi nochmal. Ich hätte noch eine Frage:
Ich sollte ein Gegenbeispiel für folgende Aussage finden:
Sei V ein endlichdimensionaler k-Vektorraum, wobei k ein Körper ist und U,W lineare Unterräume, sodass U (+) W = V gilt. [ (+) steht für direkte Summe].
Aussage:
Für alle f aus End(V) := {f: V -> V : f linear} gilt: f^(-1)(V) = f^(-1)(U) (+) f^(-1)(W).
Mein Gegenbeispiel:
Wähle zuerst V := R^2, dann den Endomorphismus f aus End(R^2) definiert als f(x,y):=(x+y,0) und die linearen Unterräume
U := Lin(1,0) und W := Lin(0,1).
Dann ist f^(-1)(U) = {(x,y) : (x+y,0) muss in U liegen} = R^2, da für jedes (x,y) aus R^2: (x+y,0) = (x+y) (1,0) in U liegt.
Weiter ist f^(-1)(W) = span(1,-1), da (x+y,0) nur als Nullvektor in W liegt und das für x+y = 0 <=> x = -y, also alle (x,y) = y(-1,1).
Zuletzt ist f^(-1)(R^2) = R^2.
Also gilt insgesamt: f^(-1)(U) + f^(-1)(W) = R^2, jedoch ist {0} ≠ Lin(1,-1) = f^(-1)(U) geschnitten f^(-1)(W). Also kann es nicht die direkte Summe sein. Ist mein Gegenbeispiel richtig?
