Taylorreihen ableitungen einsetzen

Question

Aufgabe:

Taylorreihe Ableitungen einsetzen

Problem/Ansatz:

Wir haben das Thema Taylorreihen/ Taylor-Interpolation gerade erst begonnen und ich habe das Problem, dass ich mir unsicher bin ob meine Rechnungen richtig sind.

Wenn die Aufgabe lautet:

A1 Bestimmen sie mit Hilfe der folgenden Bedingungen die Funktionsgleichungen für T1 bzw. T3 an der Stelle x0= 0

T1(x)= ax+b =f(x) mit

a= f‘(x)

T3(x)= ax^3+bx^2+cx+d = f(x) mit

3ax^2+2bx+c = f‘(x)

6ax+2b = f‘‘(x)

6a = f‘‘‘(x)

A2 Stellen Sie für die Näherungsfunktionen T5 und T7 ähnliche Bedingungen wie oben auf und ermitteln Sie ihre Funktionsgleichungen.

Ist dann beispielsweise bei T3 korrekt nur 6 in die Taylorreihe einzusetzen, nach dieser Rechnung, oder muss man 6c in den Zähler einsetzen?

f‘‘‘(x) = 60ax^2+24bx+6c

f‘‘‘(0) = 60a•0^2+24b•0+6c

= 6c

Answer 1

Du hast uns die Funktion , für die du die TR bestimmen sollst nicht genannt. für a musst du bei T3 den Wert von f'''(0) einsetzen. und sicher nicht einfach 6

Gruß lul

Comments

Hey,

die Funktion T1 und T3 standen so auf dem Arbeitsblatt. Ich weiß, dass ich für a den Wert von f‘‘‘(0) einsetzen muss. Jedoch ist der Wert ja f‘‘‘(0)= 6a

Schreibe ich das a nun mit oder reicht 6?

LG

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Poste mal die Aufgabenstellung im Original. Es ist unklar, was hier die Aufgabe ist. Und es scheint, dass Du in Deiner Frage schon die Aufgabenstellung mit Deiner Rechnung mischt, da blickt dann keiner mehr durch.

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So wie du fragst ist doch f'''(0)=6a und nicht 6

lul

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Text erkannt:

Bestimmen Sie mit Hilfe der folgenden Bedingungen die Funktionsgleichungen für \( T_{1} \) bzw. \( T_{3} \) an der Stelle \( x_{0}=0 \).
\( \begin{array}{l} \begin{array}{l} T_{1}(x)=a x+b=f(x) \text { mit } \\ a=f^{\prime}(x) \end{array} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} T_{3}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d=f(x) \text { mit } \\ 3 a x^{2}+2 b x+c=f^{\prime}(x) \\ 6 a x+2 b=f^{\prime \prime}(x) \\ 6 a=f^{\prime \prime \prime}(x) \end{array} \)

Stellen Sie für die Näherungsfunktionen \( T_{5} \) und \( T_{7} \) ähnliche Bedingungen wie oben auf und ermitteln Sie ihre Funktionsgleichungen.

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Was konkret ändert das a hinter 6a?

Answer 2

Hinter 6a steht kein a.

Mich interessiert vielmehr, welche Rolle \(x_0\) spielt. Das tritt in den Bedingungen gar nicht auf. Was ist denn vorher zu \(T_1,T_3,usw.\) gesagt worden?

Die Aufgabe ist schlecht formuliert. Ich spekuliere mal, dass \(T_i\) ein Polynom vom Grad (max.) \(i\) sein soll, für das \(T_i^{(j)}(x_0)=f^{(j)}(x_0)\) sein soll für alle \(j=0,...i\). Heißt: Die Bedingungen sollen gar nicht für \(x\) (was für \(x\)?) erfüllt sein, sondern nur für \(x=x_0\).

Wenn das so ist: Berechne die \(a,b,c,...\) in Abhängigkeit von \(f^{(j)}\)(x_0)\) so, dass die Bedingungen für \(x=x_0\) erfüllt sind. Heißt: löse das entsprechende LGS.

Comments

Zu T1, T3 usw. wurde vorher leider gar nichts gesagt.

Eigentlich soll es um die Taylor-Interpolation gehen, verstehe also den Zusammenhang mit dem LGS jetzt nicht so ganz.

Sind Sie sicher, dass es keinen anderen Weg gibt?

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Es gibt sicher kompliziertere Wege.

Also, zu T1:

Gegeben die Bedingungen: \(T_1(0)=f(0), T_1'(0)=f'(0)\)

Gesucht: \(a,b\)

Und nun Du. Zur Lösung kommst Du mit zwei Grundrechenarten aus.