Ist die Abbildung f längentreu, winkeltreu

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

2. Aufgabe: Gegeben ist die geradentreue, bijektive Abbildung der euklidischen Ebene
\( f:(x, y) \mapsto\left(\frac{5}{2} y+2, \frac{5}{2} x+3\right) . \)
(a) Ist die Abbildung \( f \) längentreu?
(b) Ist die Abbildung \( f \) winkeltreu?
(c) Geben Sie \( f \) als Verknüpfung von zwei der folgenden Abbildungen Geradenspiegelung, zentrische Streckung, Parallelstreckung, Scherung an. (Sie können dazu Konstruktionsbeschreibungen der beteiligten Geraden, Punkte, Winkel oder direkte Angaben machen.)
\( (3+3+4) \)

Ich weiß, dass bei a  d(A,B)=d(f(A),f(B)) sein muss.

Aber wie berechne ich d(A,B) und wie d(f(A),f(B))

Bei b und c weiß ich gar nichts.

Answer 1

Für A=(x,y) und B=(s,t) gilt d(A,B)=√( (x-s)^2 + (y-t)^2 ).

Probiere mal A=(1,0) und B=(0,1) dann ist d(A,B)=√2

und d( f(A),f(B) ) = 2,5*√2 , also nicht längentreu.

Comments

Oh danke und wie gehe ich bei b vor

Answer 2

Deine Abbildung ist (kann man an der Funktionsvorschrift ablesen) eine Verknüpfung einer Spiegelung an der \(45^\circ\)-Achse (i.e. Vertauschung von \(x\)- und \(y\)-Kooridnaten), einer Streckung um \(\frac{5}{2}\) und einer Verschiebung um \((2,3)\).

Die erste und dritte Abbildung ist isometrisch (längentreu), die zweite konform (winkeltreu) aber nicht isometrisch. Damit muss deine Abbildung auch konform, kann aber nicht isometrisch sein.

Dass die Abbildung nicht isometrisch ist, machst du mit einem Gegenbeispiel (fast jedes "generische" Gegenbeispiel klappt zu deinem Glück), die Winkeltreue kannst du argumentieren über die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen.

Comments

Aber das hier sind ja 3 Verknüpfungen. Also Streckung Spiegelung und Verschiebung aber es dürfen nur 2 sein

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Und es steht keine 45 grad Spiegelung zur  Verfügung

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Die Parallelstreckung mit der Fixpunktgeraden a, der Richtung u und dem Faktor k werde mit p_a,u;k bezeichnet. Sei P = (-38/21 | -32/21) mit Ortsvektor \(\vec p\) sowie \( \vec v = \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \) , \( \vec w = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \), \(g \;:\; \vec x = \vec p + \lambda \vec v \) , \(h \;:\; \vec x = \vec p + \mu \vec w \) , und k = 2,5 .
Dann gilt für deine Abbildung f , dass   f = p _g,w;k • p _h,v;-k ist.

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Alternative vektorfreie Formulierung : g(x) = -x - 10/3 , h(x) = x + 2/7 und  f = p _g,h;k • p _h,g;-k