Aufgabe:
Bestimmen Sie Lage, Art und Größe der lokalen Extrema der Funktionen:
\( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \quad f(x_1, x_2) = 11x_1^2 + 4x_1 x_2 + 14x_2^2 - 8\sqrt{5} \, x_1 + 4\sqrt{5} \, x_2 + 10 \)
Problem/Ansatz:
Ich habe folgendes gerechnet:
Partielle Ableitungen:
\( \frac{\partial f}{\partial x_1} = 22x_1 + 4x_2 - 8\sqrt{5}\)
\( \frac{\partial f}{\partial x_2} = 4x_1 + 28x_2 + 4\sqrt{5}\)
partiellen Ableitungen gleich Null setzen, um die kritischen Punkte zu finden
\(\frac{\partial f}{\partial x_1} = 0 \Rightarrow 22x_1 + 4x_2 - 8\sqrt{5} = 0\)
\(\frac{\partial f}{\partial x_2} = 0 \Rightarrow 4x_1 + 28x_2 + 4\sqrt{5} = 0\)
Gleichungssystem:
\( x_1 \):\(22x_1 + 4x_2 = 8\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad 11x_1 + 2x_2 = 4\sqrt{5}\)
\( x_1 \):\(4x_1 + 28x_2 = -4\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad x_1 + 7x_2 = -\sqrt{5}\)
Daraus folgt...\(11x_1 + 2x_2 = 4\sqrt{5}\)\(x_1 + 7x_2 = -\sqrt{5} \)
<=> \(11x_1 + 77x_2 = -11\sqrt{5}\)<=> \(75x_2 = -15\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{5}\)
Danach \( x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{5} \) in \( x_1 + 7x_2 = -\sqrt{5} \):
\(x_1 + 7 \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad x_1 - \sqrt{5} = -\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0 \)
Einzige kritische Punkt \( (x_1, x_2) = (0, -\frac{\sqrt{5}}{5}) \).
Bestimmung der Art der Extrema:
Hesse-Matrix:
\(H_f(x_1, x_2) = \begin{bmatrix} 22 & 4 \\ 4 & 28 \end{bmatrix}\)
<=> \(\det(H_f(0, -\frac{\sqrt{5}}{5})) = 22 \cdot 28 - 4 \cdot 4 = 616 - 16 = 600 > 0\)
\(H_{11} = 22 > 0\)
Da \( \det(H_f(0, -\frac{\sqrt{5}}{5})) > 0 \) und \( H_{11} > 0 \), liegt an der Stelle \( (0, -\frac{\sqrt{5}}{5}) \) ein lokales Minimum vor.
Funktionswerts an der Stelle des Minimums:
\( x_1 = 0 \) und \( x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{5} \) in \( f(x_1, x_2) \) einsetzen:
\(f(0, -\frac{\sqrt{5}}{5}) = 11 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) + 14 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 - 8\sqrt{5} \cdot 0 + 4\sqrt{5} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) + 10\)
\(f(0, -\frac{\sqrt{5}}{5}) = 0 + 0 + \frac{14 \cdot 5}{25} - 0 - 4 + 10\)
<=> \(f(0, -\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{70}{25} - 4 + 10 = 2.8 - 4 + 10 = 8.8\)
Daher ist das lokale Minimum von \( f \) an der Stelle \( (0, -\frac{\sqrt{5}}{5}) \) und der Funktionswert dort beträgt \( 8.8 \).
Habe ich es richtig verstanden?
