Erwartungswert einer Zufallsvariablen berechnen

Question

Aufgabe:

Man soll den Erwartungswert von X^3 berechnen wobei X=Y+Z ist und Y und Z unabhängig sind. Zudem sind Y und Z Bernoulli-verteilt mit Y - Bern(0.3) und Z - Bern(0.2).

Problem/Ansatz:

Ich habe nun E((Y+Z)^3) = E(Y^3) + 3E(Y^2*Z) + 3E(Z^2*Y) + E(Z^3) umgeformt (aufgrund der Linearität).

Bei der Lösung sieht die Umformung aber so aus:

E((Y+Z)^3) = E(Y^3) + 3E(Y^2*Z) + 6E(YZ) + 3E(Z^2*Y) + E(Z^3)

ich weiß leider nicht von wo das 6E(YZ) kommen soll?

Comments

mit Y - Bern(0.3) und Z - Bern(0.2).

Was bedeutet das?

Hier könnte/muss ?? die Erklärung liegen.

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Das bedeutet, dass die ZV bernoulliverteilt sind mit Parameter \(p\).

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ja genau, aber das Problem muss irgendwo bei der Umformung sein, danach muss man nur noch die Wahrscheinlichkeiten einsetzen.

Answer 1

Ich glaube nicht, dass es so in der Lösung steht. Falls doch, ist das einfach falsch. Beachte, dass für bernoulliverteilte ZV stets \(X^k=X\) und damit \(E[X^k]=E[X]=p\) gilt. Wahrscheinlich wurden dann die Erwartungswerte \(3E[Y^2Z]+3E[YZ^2]=6E[YZ]\) zusammengefasst.

Comments

In der Lösung des Professors war es so geschrieben, aber ich denke auch, dass ihm ein Fehler unterlaufen sein muss, Danke!

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Davon gehe ich aus, ja.

Answer 2

Du kannst ja mal schauen ob der Professor auf den richtigen Erwartungswert von X³ kommt. Eigentlich ging es doch darum, den zu ermitteln.

Die notierte Formel wäre verkehrt. Ist halt die Frage, ob das nur ein partieller Schreibfehler aus Unachtsamkeit war oder ob der Professor dann eine falsche Lösung hat.

E((Y+ Z)³) = E(Y³) + E(3·Y²·Z) + E(3·Y·Z²) + E(Z³)
E((Y+ Z)³) = E(Y³) + 3·E(Y²·Z) + 3·E(Y·Z²) + E(Z³)
E((Y+ Z)³) = E(Y) + 3·E(Y·Z) + 3·E(Y·Z) + E(Z)
E((Y+ Z)³) = E(Y) + 6·E(Y·Z) + E(Z)
E((Y+ Z)³) = 0.3 + 6·0.06 + 0.2 = 0.86

Ansonsten kann man auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für X machen.

k	0	1	2
P(X = k)	0.56	0.38	0.06

E(X³) = 0·0.56 + 1·0.38 + 8·0.06 = 0.86

Wie du siehst ist das auch geschickt mal ein Problem von mehreren Seiten anzugehen, alleine um eine andere Lösung zum vergleich zu haben.