Aloha :)
zu a) Die Kurve \(y=\sqrt{4-x^2}\) ist ein Halbkreis (oberhalb der x-Achse) um den Urpsrung mit Radius \(2\). Die Kurve \(y=\sqrt{1-x^2}\) ist ein Halbkreis (oberhalb der x-Achse) um den Urpsrung mit Radius \(1\). Die Funktion \(y=|x|\) schneidet aus der Fläche zwischen diesen beiden Halbkreisen ein 90 Grad weites Segement aus:
~plot~ sqrt(4-x^2) ; sqrt(1-x^2) ; abs(x) ; [[-3|3|-1|3]] ~plot~
zu b) Elementargeometrisch erhältst du die Fläche etwa so:
- Ein Kreis mit Radius \(R=2\) hat die Fläche \(A=\pi R^2=4\pi\).
- Ein Kreis mit dem Radius \(r=1\) hat die Fläche \(a=\pi r^2=\pi\).
- Die Fläche dazwischen ist \((A-a)=3\pi\).
- Ein Viertel dieser Fläche entspricht der Menge \(B\), also ist \(F_B=\frac34\pi\).
Zur Berechnung der Fläche \(F_B\) mittels eines Integrals brauchen wir zuerst einen Vektor \(\vec r\), der alle Punkte der Fläche \(B\) abtastet. Ihn stellen wir in Polar-Koordinaten dar:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[1;2]\quad;\quad\varphi\in\left[\frac\pi4;\frac{3\pi}{4}\right]$$Durch diese Koordinatenwahl wird das Flächenelement verzerrt:$$d(x;y)=dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Damit können wir die Fläche wie folgt bestimmen:$$F_B=\iint\limits_Bd(x;y)=\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\varphi=\pi/4}^{3\pi/4}r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=1}^2r\,dr\int\limits_{\varphi=\pi/4}^{3\pi/4}d\varphi=\left[\frac{r^2}{2}\right]_1^2\cdot\left[\varphi\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}$$$$\phantom{F_B}=\left(\frac42-\frac12\right)\cdot\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac32\cdot\frac\pi2=\frac34\pi$$
zu c) Zunächst vereinfachen wir den Integranden ein wenig:$$I=\iint\limits_B\frac{(x-1)^2+(y+1)^2-2(y-x)-1}{x^4+2x^2y^2+y^4}\,d(x;y)$$$$\phantom I=\iint\limits_B\frac{(x^2\red{-2x}+1)+(y^2\green{+2y}\blue{+1})\green{-2y}\red{+2x}\blue{-1}}{(x^2)^2+2\cdot x^2y^2+(y^2)^2}\,d(x;y)$$$$\phantom I=\iint\limits_B\frac{x^2+y^2+1}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy$$
Zur konkreten Berechnung des Integrals verwenden wir nun denselben Ortsvektor \(\vec r\) zum Abtasten der Menge \(B\), den wir schon in Aufgabenteil (b) verwendet haben. Dadurch wird$$x^2+y^2=(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2=r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r^2$$und mit dem Flächenelement \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\) wird das Integral zu:
$$I=\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\varphi=\pi/4}^{3\pi/4}\frac{r^2+1}{(r^2)^2}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=\pi/4}^{3\pi/4}d\varphi\int\limits_{r=1}^2\frac{r^2+1}{r^3}\,dr=\int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4}d\varphi\int\limits_{r=1}^2\left(\frac1r+\frac{1}{r^3}\right)dr$$$$\phantom I=\left[\varphi\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}\left[\ln|r|-\frac{1}{2r^2}\right]_1^2=\left(\frac{3\pi}{4}-\frac\pi4\right)\left(\left(\ln(2)-\frac18\right)-\left(\ln(1)-\frac12\right)\right)$$$$\phantom I=\frac\pi2\left(\ln(2)+\frac38\right)\approx1,6778$$
