Ja, diese Äquivalenzklassen sind alle gleichmächtig. Gute Frage!
Die eine Art das zu sehen wäre algebraisch. Die Menge aller rationalen Cauchyfolgen \(\mathscr{C}(\mathbb{Q})\) mit der Addition ist eine abelsche Gruppe, die Teilmenge \(\mathscr{C}_0(\mathbb{Q})\) der gegen \(0\) konvergenten Cauchyfolgen ein Normalteiler, und die reellen Zahlen genau der Quotient dieser beiden Gruppen. Zwei Cauchyfolgen sind ja genau dann äquivalent, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist, das ist genau die Definition von Gruppenquotienten. Da Nebenklassen unter Quotienten immer gleich groß sind (nämlich so groß wie der Divisor), folgt die Aussage.
Wenn du diese Abstraktion nicht magst, hier etwas expliziter:
Seien \(A,B\) zwei Äquivalenzklassen von rationalen Cauchyfolgen mit Repräsentanten \(a,b:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}\) jeweils.
Es gibt jetzt natürliche Abbildungen \(f:A\to B,g:B\to A\) zwischen diesen Klassen, nämlich durch die Vorschriften:
$$f(x)=x-a+b,g(x)=x-b+a.$$
Das sind wohldefinierte Abbildungen! Sieht auf den ersten Blick komisch aus, aber kannst du einfach nachrechnen, dass, wenn \(x\) in \(A\) liegt, dann \(x-a+b\) in \(B\) liegt. Da diese Funktionen offensichtlich beidseitige Inverse voneinander sind, sind das Bijektionen. Also müssen all solche Äquivalenzklassen gleichmächtig sein.
Kleine Übung: Ich habe ja oben von Gruppenquotienten geredet. Der Beweis hier funktioniert für alle Quotienten von Gruppen, dafür muss der Divisor nicht mal ein Normalteiler sein. Abstrahiere ihn doch mal selbst ;)
