Die Basen U und V sind gesucht, sodass g durch die Einheitsmatrix E3 dargestellt wird.

Question

Aufgabe:

Die Basen U und V sind gesucht, sodass g durch die Einheitsmatrix E3 dargestellt wird.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

2. Es sei die lineare Abbildung \( g: U \rightarrow V \) gegeben durch \( \left.U=V=\mathbb{R}^{3}, g\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}2 x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ +x_{2}+x_{3} \\ -x_{3}\end{array}\right) \). Geben Sie Basen für \( U \) und \( V \) an, sodass \( g \) durch die Einheitsmatrix \( E_{3}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \) dargestellt wird. (Hinweis: Dieser Aufgabenteil lässt sich ganz ohne Rechnung lösen.)

Der erste Ansatz war, dass die Einheitsvektoren des R3 die Basis von U bilden und das Bild der jeweiligen Einheitsvektoren die Basen in V bilden.

Answer 1

Na das ist doch mal ein stattlicher Ansatz. Wo ist das Problem?

Comments

ich bin mir irgendwie unsicher geworden ob das die richtige Herangehensweise ist, aber wenn das so richtig ist, dann habe ich die Aufgabe soweit auch gelöst

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Du kannst ja nachher einfach die Kontrolle machen. Wenn du tatsächlich noch eine Frage dazu hast melde dich aber gerne erneut.

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also mit diesem Ansatz wäre die Basis von U = (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1) und die Basis von V = (2 0 0), (-1 1 0), (1 1 -1), irgendwie komme ich damit aber dann nicht auf einen Nenner gerade

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eigentlich müsste doch, wenn g durch E3 dargestellt wird gelten: v1 = f(u1), v2 = f(u2) und v3 = f(u3) oder nicht, denn wenn ich das Ergebnis der Bilder als Linearkombination darstelle kommt ja die jeweilige Linearkombination genau einmal vor, der Rest ist 0.

Oder kann mich da jemand korrigieren?

Dann sollte ich doch auch die Basis U frei wählen können (?) und wenn ich (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1) wähle, dann folgt f(u1) = (2 0 0) (=v1?), f(u2) = (-1 1 0) = (v2?), f(u3) = (1 1 -1) = (v3?), so dass dann die Basis von V= (2 0 0), (-1 1 0), (1 1 -1) wäre....richtig??

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Korrektur: f(u3) = (1 0 -1)

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f((0,0,1))=(1,1,-1)

ist schon richtig.

Ich verstehe Deine zwischenzeitlichen Bedenken nicht. Wie Joners schon sagt: Wo ist das Problem?

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oh maan sorry, hast natürlich recht...aber dann ist die Aufgabe so gelöst?

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oh maan sorry, hast natürlich recht...aber dann ist die Aufgabe so gelöst?

Ja. Die Aufgabe ist mit Angabe der Basen U und V gelöst. Es tut mir leid, dass die anderen nicht erkannt haben, dass du nur unsicher bist und nur eine Bestätigung haben wolltest.

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Alles gut, danke dir, ich habe mich selber auch etwas arg in meinen eigenen Gedanken verlaufen...

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Ja. Aus den Beziehungen v1 = f(u1), v2 = f(u2) und v3 = f(u3) folgt, dass g bezüglich U und V durch die Einheitsmatrix dargestellt wird. (Dass V eine Basis ist, ist offenbar.)

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Es tut mir leid, dass die anderen nicht erkannt haben, dass du nur unsicher bist und nur eine Bestätigung haben wolltest.

Was soll das dann heißen?