Darf man Fakultäten kürzen?

Question

Hallo, wenn ich so ein Bruch habe

6!/2!

Darf man diesen Bruch dann zu 3!/1! kürzen?

Da kommt eine andere Zahl raus als wenn man es nicht macht.

Was ist der Grund dafür?

Comments

Wie kommst du aus 3!/1! ? Dein Rechenweg?
Welche Zahl kommt denn bei dir raus? Willst du gar das ! wegkürzen?

6! = 6*5*4*3*2*1 = 6*5*4*3*2! = 720 [Nach Fehlerhinweis verbessert]
2! kannst du als Faktor wegkürzen

Für 3!/1! gilt: 3!/1! = 3!/1 = 3! = 6, weil man den Nenner 1 weglassen kann. Das kann aber nicht rauskommen.

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Ich habe den Fehler, der sicher aus Unaufmerksamkeit entstanden ist, korrigiert.

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Danke, MC. Völlig richtig diagnostiziert.

Answer 1

wenn ich so ein bruch habe 6!/2!

Darf man den Bruch dann ... Kürzen?

Ja, man darf ihn kürzen, aber nicht so, wie du es getan hast.

Der Bruch \( \frac{6!}{2!} \) bedeutet \( \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2} \), und weil der Faktor 2 in Zähler und Nenner vorkommt, kann man diesen wegkürzen. Das Ergebnis nach dem Kürzen ist also \( 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\).

Answer 2

Darf man Fakultäten kürzen?

Gute Frage, jedenfalls nicht so: $$\dfrac{6!}{2!}=\dfrac{3!}{1!}=6\ne 360$$Dabei kommt also offenbar etwas ganz anderes heraus als bei Beachtung der durch den Term vorgegebenen Auswertungsreihenfolge und daher darf man so nicht kürzen. Der postfixnotierte Fakultätsoperator "\(!\)" hat eben eine höhere Priorität als der Bruchstrich bzw. der Divisionsoperator.

Immerhin ist zum Beispiel das Folgende möglich: $$\dfrac{6!}{2!}=\dfrac{6\cdot 5!}{2\cdot 1!}=3\cdot 5!=3\cdot 120= 360$$

Answer 3

$$\frac{6!}{2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6$$

$$\frac{3!}{1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1} = 2 \cdot 3$$

Wie man sieht, sind beide Terme nicht gleich.

Comments

Allgemein darf man nur Faktoren im Zähler gegen Faktoren im Nenner kürzen. Das gilt allgemein nicht, wenn diese Faktoren in Funktionen stehen.

Es gilt also allgemein nicht:

$$\frac{f(k \cdot a)}{f(k \cdot b)} = \frac{f(a)}{f(b)}$$

Also

$$\frac{\sin(6)}{\sin(2)} \neq \frac{\sin(3)}{\sin(1)}$$

Aber es gibt auch Ausnahmen

$$\frac{6^2}{2^2} = \frac{3^2}{1^2}$$