Unbestimmte Intergale berechnen

Question

Aufgabe:

Berechne die folgenden unbestimmten Integrale.

\(\displaystyle \int\left(\frac{1}{5} x^{4}-\frac{4}{3 \sqrt[7]{x^{6}}}\right) d x \)

\(\displaystyle \int\left(8 x^{3}-4 x\right) \sqrt[4]{x^{4}-x^{2}} \; d x \)

\(\displaystyle \int\left(x^{2}+1\right) \sin x \; d x\)

Problem/Ansatz:

Ich habe a) ausgerechnet, aber weiß nicht ob die

Text erkannt:

a)
\( \begin{array}{l} \int(\underbrace{\frac{1}{5} x^{4}}_{9}-\frac{4}{\sqrt[3]{x^{6}}}) d x \\ =\frac{x^{5}}{25}-\frac{28}{3} x^{\frac{4}{4}}+C \end{array} \)
\( \begin{array}{l} 9=\frac{1}{5} \cdot x^{4+1}=\frac{1}{25} \cdot x^{5}=\frac{x^{5}}{25}=81 \\ \begin{aligned} h=\frac{4}{3 \sqrt{x^{6}}}=\frac{4}{3 x^{\frac{5}{7}}}=\frac{4}{3} x^{-\frac{5}{7}} & =\frac{4.7}{3} x^{-\frac{6}{2}+\frac{7}{7}} \\ & =\frac{28}{3} x^{\frac{1}{2}}=\omega \end{aligned} \end{array} \)
6) \( \int\left(8 x^{3}-4 x\right) \sqrt[4]{x^{4}-x^{2}} d x=\sqrt[4]{x^{4}-x^{2}}=\left(x^{4}-x^{2}\right)^{\frac{1}{4}} \)

Lösung so stimmt?

Ich komme mit b) & c) überhaupt nicht weiter und benötige eure Hilfe.

Ich bedanke mich für jede Hilfe im Voraus!

Answer 1

Löse b) mit der Substitution \(z=x^4-x^2\) oder erkenne, dass vor der Wurzel (fast, vorher muss der Faktor 2 ausgeklammert werden) die innere Ableitung der Wurzel steht.

Für c) brauchst du die zweimalige Anwendung der partiellen Integration.

(Im ersten Schritt wird x² zu x, beim zweiten Mal wird x zu einer Konstanten).

Wenn dich das überfordert, lass dir die Lösungsschritte bei www.integralrechner.de anzeigen.

Answer 2

Hallo,

das Ergebnis der 1. Aufgabe stimmt.

3.Aufgabe:

Multipliziere aus:

->

\( =\int\left(x^{2} \sin (x)+\sin (x)\right) d x \)

Löse das linke Integral durch 2 Mal partiell Integrieren, rechte Integral dürfte klar sein.

Comments

Ausmultiplizieren stellt hier allerdings keine Vereinfachung dar. Wenn man sowieso zweimal partiell integriert, kann man sich diesen Schritt also sparen. Am Ende möchtest du das Ergebnis ja sowieso wieder vereinfachen.

Answer 3

Du kennst offenbar https://www.integralrechner.de zur Hilfe und Selbstkontrolle noch nicht.

Ich finde manchmal die Schreibweise etwas suboptimal. So kann man entweder 8/5 am Ergebnis komplett vor die Klammer ziehen oder auch direkt als Dezimalzahl schreiben. Und auch die Substitution am Anfang ist für ungeübte wohl etwas schwer zu verstehen. Aber wenn du es versuchst nachzurechnen solltest du damit eigentlich gut klarkommen, wenn nicht kann man dann auch gezielt Fragen stellen.

Anmerkung. Die letzte Zeile, in der einfach noch das +C zugefügt wird, habe ich weggelassen, weil ich denke, das dürfte selbstverständlich sein.

Comments

Als kleiner Tipp:

Wenn man bei e-Funktionen oder trigonometrischen Funktionen merkt, dass es auf eine mehrfache partielle Integration hinausläuft, kann man auch einen allgemeinen Ansatz machen, diesen Ableiten und über Koeffizientenvergleich eine Stammfunktion finden.

F(x) = (a·x^2 + b·x + c)·SIN(x) + (d·x^2 + e·x + f)·COS(x)

F'(x) = (2·a·x + b)·SIN(x) + (a·x^2 + b·x + c)·COS(x) + (2·d·x + e)·COS(x) - (d·x^2 + e·x + f)·SIN(x)

F'(x) = (2·a·x + b - d·x^2 - e·x - f)·SIN(x) + (a·x^2 + b·x + c + 2·d·x + e)·COS(x)

Koeffizientenvergleich

2·a·x + b - d·x^2 - e·x - f = x^2 + 1 → d = -1 ; 2·a - e = 0 ; b - f = 1

a·x^2 + b·x + c + 2·d·x + e = 0 → a = 0 ; b + 2·d = 0 ; c + e = 0

Daraus lässt sich dann leicht: a = 0 ∧ b = 2 ∧ c = 0 ∧ d = -1 ∧ e = 0 ∧ f = 1 gewinnen.

Damit wäre eine Stammfunktion

F(x) = (2·x)·SIN(x) + (1 - x^2)·COS(x)

Answer 4

Aloha :)

zu 1) Hast du richtig gerechnet\(\quad\checkmark\)

zu 2) Wenn in einem Integranden die Ableitung eines Terms als Faktor auftaucht, ist Substitution dieses Terms oft eine gute Idee. Hier taucht die Ableitung \(\blue{4x^3-2x}\) von von \(\pink{x^4-x^2}\) als Faktor auf:$$I=\int(8x^3-4x)\sqrt[4]{x^4-x^2}\,dx=2\cdot\int(\blue{4x^3-2x})\left(\pink{x^4-x^2}\right)^{\frac14}dx$$

Wenn du nun den pinken Term substituierst:$$u(x)\coloneqq\pink{x^4-x^2}\implies\frac{du}{dx}=\blue{4x^3-2x}\implies du=(\blue{4x^3-2x})\,dx$$erkennst du, dass der blaue Faktor (die Ableitung) bei der Ersetzung des Differentials verschwindet:$$I=2\int u^{\frac14}\,du=2\cdot\frac{u^{\frac54}}{\frac54}+C=\frac85u^{\frac54}+C=\frac85(\pink{x^4-x^2})^{\frac54}+C$$

zu 3) Hier kannst du den Faktor \(\pink{x^2+1}\) durch mehrfaches Ableiten zum Verschwinden bringen. Den Faktor \(\blue{\sin x}\) kannst du leicht integrieren. Daher bietet sich hier partielle Integration an:$$\begin{array}{c|c|r}\text{Vorzeichen} & \text{ableiten} & \text{integrieren}\\\hline & & \blue{\sin x}\\\hline \green+ &\pink{x^2+1} & -\cos x\\\green-&2x & -\sin x\\\green+ & 2 & \cos x \end{array}$$Beachte den Vorzeichenwechsel in jeder Zeile und dass die oberste Zeile bei "ableiten" leer bleibt!

Im Ergebnis multiplizierst du nun die Einträge in jeder Zeile und addierst alles zusammen:$$I=\green+(x^2+1)\cdot(-\cos x)\green-2x\cdot(-\sin x)\green+2\cdot\cos x+C$$$$I=-(x^2-1)\cos x+2x\sin x+C$$