Potenzreihe mit unterschiedlichen Exponenten

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{4^{k}}{3^{2 k}} = \frac{4}{5} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, Könnte mir hier bitte jemand weiterhelfen und sagen, wie man auf den Wert kommt? Ich hätte es als geometrische Reihe berechnet, aber die unterschiedliche Potenzen verunsichern mich etwas.

LG

Answer 1

4^k/3^(2k) = (4/9)^k

Die geometr. Reihe hat damit den Summenwert mit a0= 4/9, q= 4/9

Summe = (4/9)/(1-4/9) = (4/9)/(5/9) = 4/5 = 0,8

PS:

Eine Potenzreihe ist etwas anderes:

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe

Answer 2

Dann bring es halt auf gleiche Exponenten: \(\frac{4^k}{3^{2k}}=(\frac4{3 ^2})^k\). Wiederhole die Potenzrechenregeln.

Die geometrische Reihe ist dann \(\sum\limits_{i=0}^\infty\frac{4^k}{3^{2k}} =\frac1{1-\frac49}\). Da unsere Reihe erst bei \(i=1\) losgeht, muss man den Summanden für \(i=0\) davon noch subtrahieren.