Explizite Formel finden aus einer Rekursionsgleichung

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine explizite Formel für die durch die Rekursionsgleichung

\( a_{0}:=1, \quad a_{1}:=4, \quad a_{2}:=13, \quad a_{n}:=2 a_{n-1}+2 a_{n-2}+3 a_{n-3}+3 \quad \text { für } n \geq 3 \)

Problem/Ansatz:

Ich bin nur mit Raten auf die richtige Lösung gekommen und finde keinen richtigen Weg. Kann mir jemand helfen?

Comments

Welchen Weg habt Ihr im Unterricht besprochen?

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Das ist aus einer Altklausur meiner Uni. Wir haben erzeugende Funktionen und es über die Nullstellen gemacht und dann ein LGS gelöst

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Das ist aus einer Altklausur meiner Uni. Wir haben erzeugende Funktionen und es über die Nullstellen gemacht und dann ein LGS gelöst

Das klingt doch nicht so schlecht. Und wo liegt genau das Problem?

Zunächst löst du die homogene Rekursionsgleichung. Dann löst du den inhomogenen Teil der Rekursionsgleichung und erhältst damit schon eine allgemeine Lösung. Dann musst du über ein Gleichungssystem mit den Anfangsbedingungen die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung herausfinden.

Insgesamt komme ich auf die explizite Form:

a(n) = 1.5·3^n - 1/2

Zugegeben, das ist ein ganzes Stück Arbeit, vor allem wenn man das lange nicht mehr gemacht hat.

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Ich wusste nicht wie ich das mit einem LGS lösen kann. ICh kannte das nicht mit dem homogenen und inhomogen teil :D. das schaue ich mir mal an.

Ich kam mit raten genau aufs gleiche

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Nun habe ich fast 20 Minuten in YouTube verbracht, um nach dem exzellenten Video zu suchen, mit dem ich das damals gelernt habe. Aber wie das so häufig ist, wenn man etwas sucht. Man findet alles andere, nur nicht das was man sucht :)

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Meinst du, du kennst das Video noch und könntest den Link hierein schicken? :)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Schreibe dir mal die ersten paar Werte der Folge auf und bilde dann die Differenz benachbarter Werte:$$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline a_n & 1 & 4 & 13 & 40 & 121\\a_{n+1}-a_n & \text{n.d.} & 3 & 9 & 27 & 81\\\hline a_n-(a_{n+1}-a_n) & \text{n.d.} & 1 & 4 & 13 & 40\end{array}$$

Daraus kannst du eine Rekursionsgleichung ablesen:$$a_{n}=3^{n}+a_{n-1}\quad;\quad a_0=1=3^0$$und bist mit Verwendung der geometrischen Reihe fertig:$$a_n=\sum\limits_{k=0}^n3^k=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}$$

Answer 2

Die Aufgabenstellung lautet "Geben Sie an". Wenn keine Rechnung notwendig ist, dann ist das "Raten" auch nicht schwierig. Wenn man \(a_3=40\) berechnet und sich die Differenzen anschaut, dann sieht man, dass die Differenzen genau die 3er-Potenzen sind. Das legt einen Ansatz der Form \(a_n=x\cdot 3^n+y\) nahe. Dann liefert \(a_0=1\), dass \(x+y=1\) sein muss und \(a_1=4\) liefert \(3x+y=4\). Subtraktion beider Gleichungen ergibt dann sofort \(x=1,5\) und mit der ersten Gleichung haben wir \(y=-0,5\).

Sollte das als Rechenweg nicht ausreichend sein, lässt sich die Gültigkeit der Formel durch Einsetzen in die Rekursionsgleichung sicherlich leicht verifizieren.

Comments

Ich meine auch "Geben Sie an" ist was anderes als "Leiten Sie her". Und wenn es eine Altklausur ist, wäre die zu vergebende Punktzahl aufschlussreich. Leider hast Du die Aufgabe aus dem Zusammenhang gerissen. Das, was drumherum steht, wäre auch interessant.

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Auch der Studiengang spielt hier sicherlich eine Rolle. Gerade von Lehramtstudenten weiß ich, dass es bei denen gar nicht auf Herleitungen ankommt, sondern viel mehr um das "Erkennen der Muster", was ein "Geben Sie an" in der Aufgabe rechtfertigt.