Integral über dx zum Quadrat

Question

Hallo 8)

Ich habe eine Verständnisfrage. In einem Aufgabenblatt soll ich u.a. ein komisches Integral berechnen:

$\int x dx^2$

Ist damit die doppelte Integration gemeint, also

$\int\int x dx dx$

Oder ist das einfach nur ein Fehler in der Aufgabenstellung und das Quadrat soll über dem ersten x stehen?

Comments

Das muss doch irgendwo definiert sein. Wurde das nicht in der Vorlesung erwähnt?

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Lade die gesamte Aufgabenstellung im Wortlaut. Aus dem Zusammenhang gerissen kann man da nichts sagen.

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Leider wurde das in der Vorlesung nicht besprochen, auch in den Aufzeichnungen finde ich nichts dazu.

Die Aufgabenstellung ist einfach "Berechnen Sie die Integrale". Mehr steht da nicht.

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Dann substituiere x² = u und erhalte ∫√u du = 2/3 u^3/2 = 2/3 x³

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Du siehst ja, die Unklarheit bleibt. Poste die vollständige Aufgabe, mit allen Teilen (auch wenn sich deine Frage nur auf einen Teil bezieht), von Anfang bis Ende. Auch gerne die Aufgaben davor und danach

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Möglicherweise geht es auch um das sog. Stieltjes Integral

Answer 1

Aloha :)

Allgemein gilt doch, wenn $g(x)$ stetig differenzierbar ist:$$\int f(x)\,dg(x)=\int f(x)\,g'(x)\,dx$$

Daher würde ich das Differential als $d(x^2)$ interpretieren:$$\int x\,dx^2=\int x\,d(x^2)=\int x\,\frac{d(x^2)}{dx}\,dx=\int x\,2x\,dx=\int 2x^2\,dx=\frac23x^3+\text{const}$$

Comments

Ich frage mich wie wahrscheinlich ist es das der Dozent/Übungsleiter

∫ x dx² = ∫ 2x² dx

gemeint hat. Es hängt vielleicht von den anderen Aufgaben ab. Eine Rückfrage kann aber sicher nicht Schaden.

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Man beachte, wie weggelassene Klammern die Bedeutung des Terms dx² beeinflussen:
In der zweiten Ableitung d²y / dx² heißt es eigentlich (dx)², hier aber d(x²).

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Wie ist beides zu lesen?

dx² = Ableitung nach x²?? Wie soll das gehen, wenn nur x dasteht?

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Wie soll das gehen, wenn nur x dasteht?

Da kommt dann die recht geniale Substitution von Gast hj2166 ins Spiel

∫ x d x² = ∫ √(x²) d x²

Substituiere x² = u und erhalte

= ∫ x d x² = ∫ √u d u = ∫ u^1/2 d u = 2/3·u^3/2+ C

Resubstituiere jetzt

= 2/3·x³ + C

Aber ich hatte sowas auch nie in der Schule oder im Studium und kann auch nur staunen.

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In der Theoretischen Physik sind solche Schreibweisen üblich, etwa:$$\int\sin x\cdot\underbrace{\cos x}_{=\frac{d(\sin x)}{dx}}\,dx=\int\sin x\,d(\sin x)=\frac12(\sin x)^2+C$$

Die Klammen hinter dem "$d$" werden auch gerne weggelassen. Daher kam mir die Notation aus der Aufgabenstellung sehr bekannt vor.