Aufgabe:
Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0) \\ \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0) \end{array}\right. \)
(b) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die Richtungsableitung \( D_{v} f(0,0) \) für jeden Richtungsvektor \( v \in \mathbb{R}^{2} \) mit \( \|v\|=1 \) existiert.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz ist folgender:
\( \begin{aligned} & \operatorname{Dv}_{v} f(0,0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(h v_{1}, h v_{2}\right)-f(0,0)}{h} \\ = & \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2} v_{1}^{2} \cdot h v_{2}}{h\left(h^{2} v_{1}^{2}+h^{2} v_{2}^{2}\right)}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^{3} v_{1}^{2} \cdot v_{2}}{h^{3}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)}=\frac{v_{1}^{2} v_{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}\end{aligned} \)
bei der korrekten Lösung ergibt sich für den Nenner allerdings 1. Wo liegt mein Fehler?
Dankeschön!
