Hallo. Ich habe das ganze mal bischen unterteilt. Ich hoffe mein Beitrag macht es dir verständlicher.
SCHEITELPUNKTFORM
1. Erklärung via quadratischer Ergänzung:
Du hast ein quadratisches Polynom f: R —> R gegeben als f(x) := ax^2 + bx + c, wobei a≠0 ist.
Dann vereinfachen wir:
f(x) = ax^2 + bx + c = a (x^2 + b/a x + c/a)
= a (x^2 + b/a x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a)
= a ((x+b/2a)^2 + c/a - (b/2a)^2)
= a (x+b/2a)^2 + c - b^2/4a
Wir ergänzen also den Term (b/2a)^2 damit wir an der einen Stelle die erste binomische Formel anwenden können.
Also ist nun f(x) = a (x+b/2a)^2 + c - b^2/4a.
Hier liest man den Scheitelpunkt ab. Der x-Wert ist die Nullstelle des Binomausdruckes (x+b/2a)^2, also gerade x = -b/2a und der f(x)-Wert ist dann einfach der konstante Ausdruck daneben, also c-b^2/4a. Der Scheitelpunkt ist also der Punkt (-b/2a, c- b^2 /4a).
Nun die gemetrische Bedeutung. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist entweder der maximalste oder minimalste Punkt der quadratischen Funktion f. D.h. an der Scheitelstelle x = -b/2a nimmt f entweder den maximalsten Wert oder minimalsten Wert an.
Wir setzen y = c- b^2 / 4a. Du weisst bestimmt, das (x+b/2a)^2 immer positiv ist. D.h. je nach dem ob a jetzt positiv oder negativ ist, ist der ganze erste Summand a (x+b/2a)^2 entweder positiv oder negativ. Wenn a sagen wir mal negativ ist, so ist a (x+b/2a)^2 auch negativ. Wenn a negativ ist, ist f eine nach unten geöffnete Parabel und hat ein absolutes Maximum. D.h. insbesondere es wird immer gelten a (x+b/2a)^2 + y ≤ y. In dem Falle kann die Funktion maximal den Wert y annehmen. Ja und was muss man da für ein x einsetzen, damit f(x) = y ist, ja gerade x = -b/2a. Also hat f bei der Stelle x = -b/2a den maximalesten Wert f(-b/2a) = y. Umgekehrt wenn a positiv ist, so ist auch der ganze erste Summand a (x+b/2a)^2 positiv und es gilt daher a (x+b/2a)^2 + y ≥ y. Hierbei ist für a positiv, f eine nach oben geöffnete Parabel und hat somit ein absolutes Minimum. In dem Falle sehen wir, der minimalste Wert den f annehmen kann ist y und genauso muss also x = -b/2a eingesetzt werden, damit f dieses Minimum annimmt.
Insgesamt ist also wie gesagt der Scheitelpunkt der Punkt, wo f maximal oder minimal wird. Ob f maximal oder minimal wird, hängt wie Du siehst von der Wahl von dem Faktor a ab.
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Nun weisst du vorallem wie man von der Form f(x) = ax^2 + bx + c zu f(x) = a (x+b/2a)^2 + c - b^2 /4a kommt. Die Rückrichtung sollte klar sein.
Nochmal die Ermittlung und geometrische Bedeutung des Scheitelpunktes anders erklärt:
2. Erklärung vial Differenzialrechnung:
Du hast ein quadratisches Polynom f: R —> R gegeben als f(x) := ax^2 + bx + c, wobei a≠0 ist.
Der Scheitelpunkt ist immer das lokale Extremum von der Funktion f. D.h. wir bilden die Ableitung von f. Diese ist gegeben als die Funktion f‘ : R —> R mit
f‘(x) = lim h->0 [f(x+h)-f(x)] / h =
lim h->0 (2ax+ah+b) = 2ax+b.
Nun suchen wir kritische Punkte von f. Das sind die x, an der die Ableitung f‘(x) = 2ax+b verschwindet. D.h. wir lösen die Gleichung 2ax+b = 0. Diese hat die Lösung x = -b/2a. Die zweite Ableitung f’‘ ist dann gegeben durch
f‘‘(x) = lim h->0 [f‘(x+h)-f‘(x)] / h = 2a und da a≠0 ist, ist auch 2a≠0. Also gilt f‘‘(-b/2a) = 2a ≠ 0 jnd damit ist die zweite Ableitung also an der kritischen Stelle entweder positiv oder negativ, aber nie Null. Demnach ist bei x = -b/2a ein absolutes Extremum von f. Also ein Scheitelpunkt. Der Wert ist dann einfach
f(-b/2a) = a (-b/2a)^2 + b (-b/2a) + c = b^2/4a - b^2 / 2a + c = c - b^2 / 4a.
Also ist insgesamt der Scheitelpunkt
(-b/2a, c-b^2 / 4a).
Die geometrische Bedeutung bzgl. der Differentialrechnung: Der Scheitelpunkt ist wie oben erwähnt entweder das absolute Minimum oder das absolute Maximum einer quadratischen Funktion. D.h. an der Stelle x = -b/2a wird die quadratische Funktion f maximal oder minimal, je nachdem wie a gewählt ist. Also sind die Scheitelpunktstellen insbesondere auch die Nullstellen der ersten Ableitung von f, da f genau dann maximal bzw. minimal wird, wenn ihre Ableitung verschwindet. Denn das bedeutet vorallem, das f an dem maximalsten bzw. minimalsten Punkt keine Steigung hat. (Die Ableitung f’ gibt geometrisch interpretiert, die Steigung von der Funktion f an).
NORMALFORM:
Hier folgt alles analog. Nur mit a = 1 eben.
