Herleitung der Formeln für die Scheitelpunktkoordinaten bei quadratischen Funktionen

Question

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur quadratischen Funktion. Es gibt Formeln zur Berechnung der Scheitelkoordinaten, je nachdem, ob man die allgemeine Form der quadratischen Funktion oder die Normalform vorliegen hat (siehe Bild).

Mir ist jedoch unklar, wie genau diese Formeln hergeleitet werden. Könnte mir das jemand ausführlich erklären?

Um den Zusammenhang besser zu verstehen, habe ich versucht, die Scheitelpunktsform

f(x) = a(x - d)²+e in die allgemeine Form

f(x) = ax²+bx+c zu überführen. Allerdings fällt es mir schwer, die Herleitung nachzuvollziehen.

Das gleiche Problem habe ich auch bei der Umwandlung von der Normalform

f(x) = (x - d)²+e in die Form f(x) = x²+px+q.

Könnte mir jemand dabei helfen?

Gruß :)

Text erkannt:

Scheitelkoordinaten für die allgemeine quadratische Funktion
\( \begin{array}{r} f(\mathrm{x})=a x^{2}+b x+c \\ S\left(-\frac{b}{2 a} \left\lvert\, c-\frac{b^{2}}{4 a}\right.\right) \end{array} \)

Scheitelkoordinaten für die quadratische Funktionen in Normalform
\( \begin{array}{l} \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{2}+p x+q \\ S\left(-\frac{p}{2} \left\lvert\,-\frac{p^{2}}{4}+q\right.\right) \end{array} \)

Scheitelform einer quadratische Funktion: \( \underline{\mathrm{f}} \mathrm{x})=(x-d)^{2}+\boldsymbol{e} \)
\( S(d \mid e) \)

Comments

Hier ist eine stark geometrisch basierte Bestimmung des Scheitelpunktes \(S(x_S,y_S)\).

Ich zeig dir das am Fall \(f(x) = ax^2+bx + {\color{blue} c}\).

Wenn man \( {\color{blue} c}\) ändert, verschiebt man den Graphen von \(f\) nur vertikal. Also ändert sich \(\bf{x_S}\) nicht und ich bestimme \(x_S\) für \({\color{blue} c=0}\). Betrachte also

\(f_0(x) = ax^2+bx = x(ax+b)\)

Wegen der Symmetrie der Parabel muss \(x_S\) in der Mitte zwischen den Nullstellen von \(f_0\) liegen:

\(x=0\) und \(x= -\frac ba \stackrel{Mitte}{\Rightarrow} x_S = \frac 12\left(0 - \frac ba\right)=-\frac b{2a}\)

Jetzt setzt du \(x_S\) in die Ausgangsfunktion \(f\) ein und erhältst \(y_S\).

Probier das mal als Training mit der pq-Form.

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Aus welchem Buch, welcher Internetquelle oder was auch immer hast du diese Abbildung entnommen?

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Ich habe das Bild bearbeitet und daher die Quelle nicht direkt angegeben. Das Originalbild stammt von der Schulminator-Community

https://schulminator.com/community/super-mario/312

Answer 1

Multipliziere die Scheitelpunktform aus. Beachte die binomische Formel:

\(f(x)=a(x-d)^2+e=a(x^2-2dx+d^2)+e=ax^2\red{-2ad}x\green{+ad^2+e}\)

Jetzt ist \(\red{b=-2ad}\) und \(\green{c=ad^2+e}\).

In der Scheitelpunktform hat der Scheitelpunkt die Koordinaten \(S(d|e)\). Formen wir die bunten Terme also einmal um, so erhalten wir \(\red{d=-\frac{b}{2a}}\) und \(\green{e=c-ad^2=c-a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2=c-\frac{b^2}{4a}}\).

Für die Normalform ersetze \(b\) durch \(p\), \(c\) durch \(q\) und setze \(a=1\).

Comments

Vielen lieben Dank :)

Ich habe noch eine Frage: Wie verläuft die Herleitung, wenn die Scheitelpunktsform f(x) = a(x + d)² + e lautet? Und was ändert sich im allgemeinen, wenn das a  sogar negativ ist?

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Dann hat der Scheitelpunkt die Koordinaten \(S(-d|e)\). Die Herleitung gilt für jedes beliebige \(a\neq 0\).

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Vielen Dank!!!

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Hallo,

ich habe versucht, die Herleitung mit dem negativen Parameter a durchzuführen, aber ich komme nicht auf die allgemein gültigen Formeln für die Koordinaten d = -b/2a und e = c - b^2/4a .

Ausgangspunkt war die quadratische Funktion f(x) = -a(x - d)^2 + e .

1. Quadratische Funktion in Scheitelpunktform
Die Funktion in der Scheitelpunktform lautet:

f(x) = -a(x - d)^2 + e

Hierbei hat der Scheitelpunkt die Koordinaten S(d/e) .
2. Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform
Beim Ausmultiplizieren erhalte ich:

f(x) = -a(x^2 - 2dx + d^2) + e = -ax^2 + 2adx - ad^2 + e

3. Bestimmung von b und c
Durch Koeffizientenvergleich komme ich auf:

b = 2ad und c = -ad^2 + e

4. Umformung zur Bestimmung von d und e
Ich habe versucht, d und e aus b und c zu bestimmen:

d = b/2a

Für e setze ich den Ausdruck für d in die Gleichung für c ein:

e = c + ad^2 = c + a(b/2a)^2 = c + b^2/4a


Allerdings erhalte ich dabei folgende Formeln:

d = b/2a und e = c + b^2/4a

statt der allgemein gültigen:

d = -b/2a und e = c - b^2/4a

Wobei die Herleitung für jedes beliebige a ≠ 0 gilt.

Wo liegt mein Fehler?

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Dein Fehler liegt einfach im Denken. Wenn \(a<0\), dann ist \(-a>0\). Ersetze also dein \(a\) durch \(-a\), dann passen die Formeln doch wieder. Es macht auch keinen Sinn, das Vorzeichen von \(a\) einzuschränken.

\(d=-\frac{b}{2(-a)}=\frac{b}{2a}\).

Minus mal Minus ergibt eben Plus. Also kann ich das auch direkt in der allgemeinen Formel berücksichtigen. Für \(e\) genauso.

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Hey Apfelmännchen,

bedeutet das also, dass das Minuszeichen vor dem a in der Funktion f(x) = -a(x - d)^2 + e nicht das Vorzeichen einer einzusetzenden negativen Zahl darstellt? Wenn ich also beispielsweise -2 für den Parameter a einsetze, erhalte ich f(x) = -(-2)(x - d)^2 + e . Das bedeutet, dass a sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, oder?

Somit repräsentiert die allgemeine Form f(x) = a(x - d)^2 + e sowohl positive als auch negative Werte für den Parameter a , weshalb auch die Formeln für die Scheitelkoordinaten für alle a ≠ 0  gelten.

Es tut mir leid, dass ich dich so mit meinen Fragen löchere, auch wenn sie vielleicht banal erscheinen. Ich möchte das Thema der quadratischen Funktionen wirklich komplett verstehen.

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Ja, genauso ist es. Das Vorzeichen wird ja durch die einzusetzende Zahl bereits berücksichtigt. Wenn du vor den Funktionsterm ein Minus setzt und dann etwas Negatives einsetzt, dann wird es ja wieder positiv.

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Super! Vielen Dank nochmals

Answer 2

Hallo. Ich habe das ganze mal bischen unterteilt. Ich hoffe mein Beitrag macht es dir verständlicher.

SCHEITELPUNKTFORM

1. Erklärung via quadratischer Ergänzung:

Du hast ein quadratisches Polynom f: R —> R gegeben als f(x) := ax^2 + bx + c, wobei a≠0 ist.

Dann vereinfachen wir:

f(x) = ax^2 + bx + c = a (x^2 + b/a x + c/a)

= a (x^2 + b/a x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a)

= a ((x+b/2a)^2 + c/a - (b/2a)^2)

= a (x+b/2a)^2 + c - b^2/4a

Wir ergänzen also den Term (b/2a)^2 damit wir an der einen Stelle die erste binomische Formel anwenden können.

Also ist nun f(x) = a (x+b/2a)^2 + c - b^2/4a.

Hier liest man den Scheitelpunkt ab. Der x-Wert ist die Nullstelle des Binomausdruckes (x+b/2a)^2, also gerade x = -b/2a und der f(x)-Wert ist dann einfach der konstante Ausdruck daneben, also c-b^2/4a. Der Scheitelpunkt ist also der Punkt (-b/2a, c- b^2 /4a).

Nun die gemetrische Bedeutung. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist entweder der maximalste oder minimalste Punkt der quadratischen Funktion f. D.h. an der Scheitelstelle x = -b/2a nimmt f entweder den maximalsten Wert oder minimalsten Wert an.

Wir setzen y = c- b^2 / 4a. Du weisst bestimmt, das (x+b/2a)^2 immer positiv ist. D.h. je nach dem ob a jetzt positiv oder negativ ist, ist der ganze erste Summand a (x+b/2a)^2 entweder positiv oder negativ. Wenn a sagen wir mal negativ ist, so ist a (x+b/2a)^2 auch negativ. Wenn a negativ ist, ist f eine nach unten geöffnete Parabel und hat ein absolutes Maximum. D.h. insbesondere es wird immer gelten a (x+b/2a)^2 + y ≤ y. In dem Falle kann die Funktion maximal den Wert y annehmen. Ja und was muss man da für ein x einsetzen, damit f(x) = y ist, ja gerade x = -b/2a. Also hat f bei der Stelle x = -b/2a den maximalesten Wert f(-b/2a) = y. Umgekehrt wenn a positiv ist, so ist auch der ganze erste Summand a (x+b/2a)^2 positiv und es gilt daher a (x+b/2a)^2 + y ≥ y. Hierbei ist für a positiv, f eine nach oben geöffnete Parabel und hat somit ein absolutes Minimum. In dem Falle sehen wir, der minimalste Wert den f annehmen kann ist y und genauso muss also x = -b/2a eingesetzt werden, damit f dieses Minimum annimmt.

Insgesamt ist also wie gesagt der Scheitelpunkt der Punkt, wo f maximal oder minimal wird. Ob f maximal oder minimal wird, hängt wie Du siehst von der Wahl von dem Faktor a ab.

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Nun weisst du vorallem wie man von der Form f(x) = ax^2 + bx + c zu f(x) = a (x+b/2a)^2 + c - b^2 /4a kommt. Die Rückrichtung sollte klar sein.

Nochmal die Ermittlung und geometrische Bedeutung des Scheitelpunktes anders erklärt:

2. Erklärung vial Differenzialrechnung:

Du hast ein quadratisches Polynom f: R —> R gegeben als f(x) := ax^2 + bx + c, wobei a≠0 ist.

Der Scheitelpunkt ist immer das lokale Extremum von der Funktion f. D.h. wir bilden die Ableitung von f. Diese ist gegeben als die Funktion f‘ : R —> R mit

f‘(x) = lim h->0 [f(x+h)-f(x)] / h =

lim h->0 (2ax+ah+b) = 2ax+b.

Nun suchen wir kritische Punkte von f. Das sind die x, an der die Ableitung f‘(x) = 2ax+b verschwindet. D.h. wir lösen die Gleichung 2ax+b = 0. Diese hat die Lösung x = -b/2a. Die zweite Ableitung f’‘ ist dann gegeben durch

f‘‘(x) = lim h->0 [f‘(x+h)-f‘(x)] / h = 2a und da a≠0 ist, ist auch 2a≠0. Also gilt f‘‘(-b/2a) = 2a ≠ 0 jnd damit ist die zweite Ableitung also an der kritischen Stelle entweder positiv oder negativ, aber nie Null. Demnach ist bei x = -b/2a ein absolutes Extremum von f. Also ein Scheitelpunkt. Der Wert ist dann einfach

f(-b/2a) = a (-b/2a)^2 + b (-b/2a) + c = b^2/4a - b^2 / 2a + c = c - b^2 / 4a.

Also ist insgesamt der Scheitelpunkt

(-b/2a, c-b^2 / 4a).

Die geometrische Bedeutung bzgl. der Differentialrechnung: Der Scheitelpunkt ist wie oben erwähnt entweder das absolute Minimum oder das absolute Maximum einer quadratischen Funktion. D.h. an der Stelle x = -b/2a wird die quadratische Funktion f maximal oder minimal, je nachdem wie a gewählt ist. Also sind die Scheitelpunktstellen insbesondere auch die Nullstellen der ersten Ableitung von f, da f genau dann maximal bzw. minimal wird, wenn ihre Ableitung verschwindet. Denn das bedeutet vorallem, das f an dem maximalsten bzw. minimalsten Punkt keine Steigung hat. (Die Ableitung f’ gibt geometrisch interpretiert, die Steigung von der Funktion f an).

NORMALFORM:

Hier folgt alles analog. Nur mit a = 1 eben.

Comments

Manchmal ist weniger mehr ...

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Ich finde die erste Erklärung äußerst hilfreich – vielen Dank dafür! Zur Klarstellung: Die Formeln für den Scheitelpunkt S gelten für jede beliebige Funktion der Form f(x) = ax^2 + bx + c , wobei a ≠ 0  ist. Ist das korrekt?”

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Richtig. Das zeigt doch die Herleitung. Hier funktioniert die Herleitung nur andersherum, das heißt, man leitet mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die Scheitelpunktform her.

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Danke, dass ihr euch die Zeit genommen habt. Jetzt habe ich es endlich gerafft!

Answer 3

Möglichkeit mit Zahlen:

\(y= 4x^2+12x+7\)   Umrechnung in die Scheitelpunktform:

\(y= 4x^2+12x+7  |:4\)

\(\frac{y}{4}= x^2+3x+\frac{7}{4}   |-\frac{7}{4}\)  

\(\frac{y}{4}-\frac{7}{4}= x^2+3x\)      quadratische Ergänzung:

\(\frac{y}{4}-\frac{7}{4}+(\frac{3}{2})^2= x^2+3x+(\frac{3}{2})^2\)       1.Binom:

\(\frac{y}{4}+\frac{1}{2}= (x+\frac{3}{2})^2     |-\frac{1}{2}\)

\(\frac{y}{4}= (x+\frac{3}{2})^2 -\frac{1}{2}  | \cdot 4\)

\(y= 4(x+\frac{3}{2})^2 -2  \)

S\((-\frac{3}{2}|2)\)

Comments

Das ist keine allgemeine Herleitung, also kein gültiger Beweis, und somit keine sinnvolle Antwort. Also Thema verfehlt.