Aufgabe:
Wir betrachten die Funktion f: [x,∞)→ℝ , x→√x
(i) Beweisen Sie, dass die Funktion Lipschitz.stetig ist auf [ε,∞) für jedes ε>0.
(ii) Zeigen Sie, dass f nicht Lipschitz-stetig ist auf [0,∞)
Ansatz (Epsilon-Delta-Beweis):
$$ \begin{array} { l } { \left| \sqrt { x } - \sqrt { x _ { 0 } } \right| < \varepsilon } \\ { \Leftrightarrow \left| \frac { x - x _ { 0 } } { \sqrt { x } + \sqrt { x _ { 0 } } } \right| < \varepsilon } \\ { \text { Abschätzung nach oben: } } \\ { \left| \frac { x - x _ { 0 } } { \sqrt { x } + \sqrt { x _ { 0 } } } \right| < \frac { \partial } { \sqrt { x _ { 0 } } } = : \varepsilon } \\ { \Rightarrow \partial = \frac { \varepsilon } { \sqrt { x _ { 0 } } } } \end{array} $$
Zählt die √x0 als geforderter L-Wert?
Ich würde schätzen ja, da man ja jeden Punkt einzeiln betrachten kann und es immer ein reeller Wert rauskommt.
zu (ii):
Hier würde ich analog vorgehen und dann behaupten, dass man sie einerseits nicht nach oben abschätzen und kann und andererseits L=0 ja nicht wirklich Sinn machen würde.
