Hallo.
Schreibe für den Betrag zuerst die komplexe Zahl in kartesischer Form a + b*i. Dazu erweiterst Du die komplexe Zahl mit dem Faktor (1-i)/(1-i).
Dann hast Du
z = (cos(3)+sin(3))/2 + i*(sin(3)-cos(3))/2.
1) Der Betrag (Radius):
Es gilt |z| = sqrt(Re(z)^2 + Im(z)^2). Den Realteil Re(z) und Imaginärteil Im(z) kennst Du ja jetzt von der berechneten kartesischen Form oben.
Tipp: Beachte beim Berechnen von |z| die Identität sin^2(x) + cos^2(x) = 1, die für alle x ∈ C gilt.
2) Das Argument
Für das Argument nutze die ursprüngliche Bruchform der komplexen Zahl, denn da gilt in dem Falle arg(z) = arg(cos(3)+sin(3)*i) - arg(1+i)
(Das gilt insbesondere da für z hier |z| = |cos(3)+i*sin(3)| / |1+i| erfüllt ist. Das kannst Du ja mal gerne als Übung prüfen.)
Setze x := cos(3) + i*sin(3).
Für die beiden Summanden nutze die Gleichheit arg(x) = arctan(Im(x)/Re(x)). Achtung! : Die Gleichheit gilt hier nur, weil der Realteil echt positiv ist, d.h. Re(x) = cos(3) > 0. Ansonsten siehe hier:
Text erkannt:
\( \arg (z)=\left\{\begin{array}{ll}\arctan \left(\frac{b}{a}\right) & ; a>0 \\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)+\pi & ; a<0, b \geq 0 \\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)-\pi & ; a<0, b<0 \\ \frac{\pi}{2} & ; a=0, b>0 \\ -\frac{\pi}{2} & ; a=0, b<0\end{array}\right. \)
wobei z = a+b*i, hier eine beliebige komplexe Zahl sein soll.
Es gilt also arg(x) = artan(sin(3)/cos(3)) = arctan(tan(3)) = 3. Das zweite überlasse ich Dir. (Du kannst da dieselbe Gleichheit nutzen)
