Stetigkeit/Unstetigkeit an einem Punkt zeigen

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) die Funktion

\( f:=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0) \text { oder }(x, y)=(1,0) \\ \frac{x^{3} y^{2}(x-1)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left((x-1)^{2}+y^{2}\right)} & \text { sonst. } \end{array}\right. \)

Bestimmen Sie die Menge aller Punkte in \( \mathbb{R}^{2} \), an denen \( f \) stetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich möchte die Stetigkeit/Unstetigkeit in den speziellen Puntken (1,0) und (0,0) zeigen.

Für zweiteres habe ich schon die Abschätzung/den Beweis:

\( \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left|\frac{x^{3} y^{2}(x-1)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left((x-1)^{2}+y^{2}\right)}\right| \leq \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left|\frac{x^{3} y^{2}(x-1)}{\left(x^{2}\right)\left((x-1)^{2}+y^{2}\right)}\right| \leq \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left|\frac{x y^{2}(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}}\right| \leq \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left|\frac{x y^{2}(x-1)}{(x-1)^{2}}\right|=\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left|\frac{x y^{2}}{(x-1)}\right| \)

Allerdings bin ich für ersteren noch unsicher, wie ich das zeigen soll, da ja die obige Abschätzung für (1,0) nicht funktioniert. Habt ihr dafür eine Idee?

Comments

Es gilt für \((x,y) \to (1,0)\)

$$\frac{x^3}{x^2+y^2} \to 1$$

$$|\frac{y^2(x-1)}{(x-1)^2+y^2}| \leq 1 \cdot |x-1| \to 0$$

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Danke für die Antwort, aber wie kommst du auf die vorletzte Abschätzung? Wo lässt du das y^2 im Zähler?

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Du weisst das (x-1)^2 ≥ 0 ist, d.h. Du kannst den Ausdruck im Nenner weglassen, wenn Du den Bruch nach oben abschätzen willst. Danach kannst du das y^2 wegkürzen.

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Stimmt, danke!

Hattest du dir auch meine Abschätzung angeschaut, ist die auch korrekt?

Wenn die korrekt ist, müsste das ja heißen, dass diese Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist, oder?

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Abschätzungen mit limes gehen nicht.

Erst Terme abschätzen und damit dann den limes prüfen.

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Ok, das stimmt, dass das formal nicht ganz korrekt ist.

Aber wenn man sich den Limes wegdenkt, dann ist das ja genau die Abschätzung. Ist die korrekt, s.d. die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist?

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Innerhalb von Beträgen darf man nie abschätzen. Erst Beträge auflösen. Und stets die Begründung für den jeweiligen Schritt notieren.

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Aber ich schätze doch auch nicht innerhalb von Beträgen ab?

Ist die Abschätzung bzw. das Resultat, dass die Fkt. auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist, denn korrekt?

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Doch, tust Du. Schau es Dir genau an. Wenn Du Begründungen notiert hättest, würdest Du das merken.

Und, sorry, Resultate interessieren mich erst, wenn sie korrekt und sauber hergeleitet sind.

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Das ist meine Abschätzung:

Begründungen sind jeweils, dass Summanden im Nenner, die positiv sind, dazu führen, dass die Funktion kleiner/gleich des Ausdrucks sind, welcher diese Summanden eben nicht

Text erkannt:

\( \left.\frac{x^{3} y^{2}(x-1)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left((x-1)^{2}+y^{2}\right)}|\leq| \frac{x^{3} y^{2}(x-1)}{\left(x^{2}\right)\left((x-1)^{2}+y^{2}\right)}|\leq| \frac{x y^{2}(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}}|\leq| \frac{x y^{2}(x-1)}{(x-1)^{2}}|=| \frac{x y^{2}}{(x-1)} \right\rvert\, \)

Wieso darf ich denn so nicht abschätzen? Das ist ja zwar innerhalb von Beträgen, aber das höre ich das erste mal. Dann dürfte ich ja z.B. auch nicht:

\(|\frac{1}{x^2+1}|\leq1\) abschätzen?

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|-3|<|-1|, da ja -3<-1.

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Was soll mir das jetzt sagen?

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Dass man innerhalb von Beträgen nicht abschätzen darf. Du Ungleichung \(|-3|<|-1|\) ist ja offensichtlich falsch, obwohl \(-3<-1\) gilt.

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Aber meine Ausdrücke, mit denen ich abgeschätzt bzw. welche ich weggelassen habe, waren doch alle positiv?

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Trotzdem kann der Ausdruck im Betrag negativ sein.

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Wenn ich dich richtig verstehe, meinst du mit Ausdruck den Summanden, den ich weggelassen habe. Wenn das korrekt ist, dann kann der nicht negativ sein, da ich ausschl. quadratische Summanden weggelassen habe...

Also ich verstehe jetzt nicht so ganz, warum meine Abschätzung so nicht funktionieren soll. Ich habe ausschl. positive Summanden im Nenner weggelassen, was auch von anderen so durchgeführt wird.

Natürlich kann man nicht nach belieben auch negative Summanden oder gar Faktoren weglassen für eine Abschätzung, aber positive Summanden doch alle mal, wenn sie z.B. im Nenner stehen...

Oder verstehe ich jetzt euren Punkt nicht?

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Es fehlen halt die Begründungen. Und zwar bei jeder einzelnen Abschätzung.

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Oder verstehe ich jetzt euren Punkt nicht?

Anscheinend nicht:

\(|-1+x^2|<|-1|\) ist sicherlich falsch für \(x>\sqrt{2}\).

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Naja, das ist ja klar, dass das nicht stimmen muss. Aber bei |-1/x^2|<|-1| gilt es für alle x. Ich habe ja ausschließlich im Nenner Ausdrücke weggelassen.

Aber vielen Dank für die Bemühungen, das ist sicherlich sinnvoll im Hinterkopf zu haben, dass man nicht einfach drauf los abschätzen sollte... Und das stimmt @nudger, dass das dann mit Begründungen umgangen werden kann, dass das falsche Abschätzungen drauß werden.

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|-1/x^2|<|-1| gilt es für alle x.

Was ist mit \(0<|x|<1\)?

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Das stimmt, ich hatte zu es unbedacht allgemein formuliert. Richtig ist:

Für alle \(x\neq 0\) und y gilt:

\(|\frac{1}{x^2+y^2}|\leq |\frac{1}{x^2}|\), im Obigen habe ich nur dies verwendet.

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Und wieder hast Du im Betrag abgeschätzt, ohne Begründung.

Der saubere und sichere Weg ist (wie schon mehrfach gesagt): Beträge auflösen (Begründung!), danach abschätzen (Begründung!).

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Ja, das mache ich ja auch zukünftig. Es ging nur darum die korrekte Version meiner obigen Aussage zu nennen.

Zumal das ja aufgrund der obigen Argumentation gilt, da ja ein positiver Summand aus dem Nenner weggekürzt ist. Natürlich könnte man das sauber beweisen, so wie du sagst, aber das ändert ja nichts an der Aussage:

\(|\frac{1}{x^2+y^2}|\leq |\frac{1}{x^2}|\)

\(\Longleftrightarrow \frac{1}{|x^2+y^2|}\leq \frac{1}{|x^2|}\)

\(\Longleftrightarrow \frac{1}{x^2+y^2}\leq \frac{1}{x^2},\) da ja beide Ausdrücke per definitionem des Quadrats größer gleich Null sind.

\(\Longleftrightarrow 1\leq \frac{1}{x^2}x^2+y^2,\)

\(\Longleftrightarrow 1\leq \frac{x^2+y^2}{x^2},\)

\(\Longleftrightarrow 1\leq \frac{x^2}{x^2} +\frac{y^2}{x^2},\)

\(\Longleftrightarrow 1\leq 1 +\frac{y^2}{x^2},\)

was in dem Körper der Reellen Zahlen mit den Gruppenverknüpfungen \(+,\cdot\) immer war ist, so lange natürlich x nicht gleich Null ist, u.a. aufgrund der Eigenschaft des Quadrats.

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Es wird hier nichts gekürzt. Und im Wissenschaftsbetrieb beruhen Aussagen nicht darauf, dass sie sowieso klar sind, oder weil ein Prof das sagt, sondern müssen beweisbar sein. Und der Anfänger muss es auch beweisen.

Auch wenn Du jetzt klar gemacht hast, dass Du Ratschlägen zum sauberen Aufschreiben nicht folgen wirst, schreib ich es nochmal für andere hin:

\(\frac1{|x^2+y^2|} \stackrel{x^2+y^2\ge 0}{=} \frac1{x^2+y^2} \stackrel{y^2\ge 0}{\le} \frac1{x^2}\)

Das geht eben alles kurz und bündig und sauber, eben in den mehrfach erwähnten zwei Schritten (Beträge auflösen, abschätzen, zwei Begründungen -> halbe Zeile).

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Ich nehme gerne Ratschläge zu Formalien an, und mir ist klar, dass das nicht formal korrekt war. Mir ging es bei meiner Frage ja aber auch nicht in der Essence um die formale Korrektheit und daraus zu folgern, dass ich hier innerhalb einer Fragestellung, die sich alleine auf einen Ansatz bezieht, allgemein Ratschläge zu Formalien nicht folge halte ich doch schon für sehr gewagt.

Außerdem sehe ich deinen Anspruch, dass das hier ein "Wissenschaftsbetrieb" sein soll, etwas konvers, denn oftmals bedarf es nur kleinen Unterstützungen und Ansätzen.

Ich habe es ja auch eingesehen, dass es besser hätte geschrieben werden können, nur es war eben nicht der Sinn meiner Frage, die Formalität hier korrekt zu halten, sondern nur die Frage, wie man das andere hätte beweisen können, s.d. ich nicht unbedingt alles ändern wollte.

U.a. hatte ich auch die Aussage:

Innerhalb von Beträgen darf man nie abschätzen.

nicht verstanden, denn, wie du ja selber bewiesen hast, gilt für eben genau diesem Ausdruck, den ich verwendet habe, diese Abschätzung innerhalb des Betrags. Wie ich auch schon geschrieben hatte, habe ich eingesehen, dass man das vorsichtig gestalten muss, aber meine Frage bezog sich ja ausschließlich auf eine Idee/einen Ansatz und der Ansatz ist ja hier offensichtlich abzuschätzen, nach deinem Beweis ja auch innerhalb von Beträgen legitim, wenn der Ausdruck eben genau jener ist.

Summa summarum bedanke ich mich aber natürlich und bin dankbar, für deine/eure intensive Hilfe!

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Es wurde nicht innerhalb der Beträge abgeschätzt, und es wäre eben falsch. Der Zwischenschritt ist zwingend erforderlich.

Und Formalitäten sind keine Deko, die man vernachlässigen kann, damit's (vermeintlich) schneller geht. Im Gegenteil sorgen die dafür, dass keine unzulässigem Schritte gemacht werden.

Und mit "Wissenschaftsbetrieb" meinte ich nicht dieses Forum (nichts läge mir ferner als das). Ich gehe davon aus, dass die Aufgabe von deiner Uni kommt.

Answer 1

Im Betrag abschätzen ist problematisch, da man da leicht mal die Funktion des Betrags vergisst (siehe @nudger Beispiel). Man wendet den Betrag zuerst einmal auf Zähler und Nenner seperat an und vereinfacht dann bzw. schätzt dann ab.

Hier meine Abschätzung:

Comments

Ok, vielen Dank, das hilft mir weiter!

Ich hatte nur die Begründung von @nudger nicht ganz nachvollziehen können.

Answer 2

Der Beweis für die Stetigkeit im Nullpunkt ist eigentlich völlig klar, also beinahe schon zum Lachen.

Man kann den ganzen Kram auch einfach durch x^4 y^2 nach oben abschätzen und das geht ja gegen 0.

Comments

Ist das tatsächlich so einfach? Wie kommt diese Abschätzung zustande?

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Vielleicht sollte man deutlicher warnen: Diese Antwort ist falsch.

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Aber warum denn?

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Du solltest sagen, warum sie richtig ist. Hat arsinoe ja schon gefragt, Antwort fehlt noch.