Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse...

Question

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 6 Kugeln mit den Nummern 1, 2, 2, 2, 3, 3.

a) Zuerst werden 10 Kugeln zufällig der Reihe nach entnommen und sofort wieder zurückgelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse...

B: Es werden 3 Zweier, 5 Dreier und zwei Einser gezogen.

Problem/Ansatz:

Die Lösung hab ich, findet man ja im Netz, aber wieso ist die so, ich Leg ja jedes Mal die Kugel wieder rein?

Text erkannt:

A: Man erhält genau zweimal die Kugel 1.
\( P(A)=\binom{10}{2} \cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{8}=45 \cdot \frac{5^{8}}{6^{10}} \approx 0,2907 \)

Es werden 3 Zweier, 5 Dreier und zwei Einser gezogen.
\( P(B)=\binom{10}{3} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot\binom{7}{5} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{5} \cdot\binom{2}{2} \cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{10 \cdot 9 \cdot \not 8}{6} \cdot \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{5^{3}} \cdot \frac{1}{36}=0,07 \)

Man erhält höchstens 7 Zweier.
Nun sei \( X \) die Zahl der Zweier:
\( \begin{aligned} P(C) & =P(X \leq 7)=1-P(X=8)-P(X=9)-P(X=10) \\ & =1-\binom{10}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{8} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-10 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{9} \cdot \frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=1-(45+10+1) \cdot \frac{1}{2^{10}}=1-\frac{56}{1024} \approx 0,9453 \end{aligned} \)

Comments

Du musst die Reihenfolgen berücksichtigen. Das machen die Binomialkoeffizienten.

Es gibt (10über2)*(7über5)*(2über2)= 945  Reihenfolgen.

Weil du zurücklegst, ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl immer dieselbe.

Eine Reihenfolge ist: 223333311

Jede Reihenfolge hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.

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Es werden 3 Zweier gezogen ...

Answer 1

Mache dir zum Verständnis die Bedeutung des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) klar. Dieser gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, genau \(k\) aus \(n\) Elementen auszuwählen. Die Brüche, die in der Formel stehen, geben dann jeweils die Wahrscheinlichkeit für eine einzige Ziehung an. Die sind hoffentlich klar. Falls nicht, frag nochmal nach.

Die Wahrscheinlichkeit 3 Zweier, 5 Dreier und zwei Einser in einer bestimmten Reihenfolge zu ziehen beträgt

\((\frac{1}{2})^3\cdot (\frac{1}{3})^5\cdot (\frac{1}{6})^2\).

Ist das soweit klar?

Jetzt müssen wir uns noch überlegen, auf wie viele Weisen man diese Kugeln anordnen kann, weil wir eben keine bestimmte Reihenfolge wollen.

Für die Zweier müssen wir 3 von 10 Positionen auswählen, also gibt es \(\binom{10}{3}\) Möglichkeiten. Für die Dreier müssen wir dann noch 5 von 7 Positionen auswählen (3 sind ja schon vergeben), also haben wir \(\binom{7}{5}\) Möglichkeiten dafür. Und für die beiden Einser müssen wir dann nur noch die letzten beiden Positionen auswählen. Das ergibt aber genau \(\binom{2}{2}=1\) Möglichkeit.

Wenn du Fragen hast, frag gerne nach.

Answer 2

Mit Zurücklegen bedeutet die Wahrscheinlichkeit für eine 1 an irgendeiner Stelle ist immer 2/6 egal ob vorher schon 2 Einsen gezogen worden waren.

Ein Pfad zum richtigen Ergebnis ist

P(2223333311) = (3/6)^3·(2/6)^5·(1/6)^2

Es gibt allerdings 10!/(3!·5!·2!) Pfade, weil das die Unterschiedlichen Anordnungsmöglichkeiten sind.

Also

P(3 Zweier, 5 Dreier, 2 Einer) = 10!/(3!·5!·2!)·(3/6)^3·(2/6)^5·(1/6)^2 = 35/972 = 0.03601

Die Musterlösung ist verkehrt. Da wird statt (1/3)^5 Plötzlich (1/5)^3 gerechnet.

Comments

Die Musterlösung ist verkehrt

Du hast Recht und ich war leichtgläubig. Leider kann ich meinen Beitrag nicht korrigieren. Es geht um das hier:

https://www.mathebibel.de/permutation-mit-wiederholung

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Die Berechnung über die Binomialkoeffizienten ist genauso möglich und nicht falsch. Der Fehler deinerseits liegt woanders... Und der Fehler der Musterlösung in einem Zahlendreher, nicht aber im Ansatz.

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Natürlich kann man die Möglichkeiten auch mit mehreren Binomialkoeffizienten berechnen. Ich finde das allerdings nicht besonders geschickt, wenn es die Möglichkeit direkt über die Permutation mit Wiederholung gibt.

(10 über 3)·(7 über 5)·(2 über 2)
= 10!/(3!·7!)·7!/(6!·2!)·2!/(2!·0!)
= 10!/(3!·1)·1/(5!·1)·1/(2!·0!)
= 10!/(3!·5!·2!)

Wie man sieht, kann man die Binomialkoeffizenten zur Formel der Permutation mit Wiederholung kürzen, welche dann einfacher zu berechnen ist.

Dein Fehler war die Annahme das zwei Zweien gezogen werden sollen. Es waren aber drei. Daher war dein Binomialkoeffizient verkehrt. Das hatte Apfelmännchen aber bereits angemerkt.