Lagrangesche Multiplikationsregel extremkandidaten Bedingung

Question

Aufgabe:

Extremkandidaten mit Lagrangschen Multiplikatiosnregel:

f(x,y)=x^2+y^2

g(x,y)=9*x^2+4*y^2-36=0

Ich habe einmal x=0 eingesetzt g(0,y)=4*y^2-36=0 ->y1=3 und y2=-3

Für den zweiten Fall habe y=0 gesetzt g(x,0)=9*x^2-36=0 damit komme ich auf x1=2 und x2=-2,

Diese vier sind ja meine P1,2,3,4 Extremgandidaten.

In der LSG. Steht jetzt aber, dass bei dem zweiten Fall Lamda=-1/9 und dann y=0…

Der Rest scheint richtig zu sein, aber wofür muss ich diese Bedingung aufstellen?

Ich komme auch auf Lamda = -1/9, wenn ich die „Lagransche-Gleichung“ nach x Abl. Und gleich null setzte.

Wenn ich das jedoch mit y machen, nicht. Ich hab erlaube ich irgendwo eine. Ganz doofen Denkfehler.

Aufgabe 2.) ist: klassifizieren Sie.

Hier habe ich meine Kandidaten einfach in f(x,y) eingesetzt und für P1,2 ein maxima raus und für P3,4 ein Minimum.

Muss ich da noch mehr klassifizieren und wie würd eich das machen? Z.B. Kompakt und Stetigkeit?

Danke schonmal im Voraus.

Answer 1

Hallo.

Ich verstehe nicht ganz, wie du das meinst. Ich meine aber du hattest die richtige Idee. Nochmal allgemein:

Zuerst einmal die Schreibweise g(x,y) = … = 0 ist falsch. Die Funktion ist nicht die Nullfunktion!

Du willst warscheinlich die Extrema von f in der Menge M := {(x,y) ∈ |R^2 : 9x^2 + 4y^2 - 36 = 0} bestimmen. Die Menge ist kompakt (abgeschlossen und beschränkt), also gibt es da absolute Extrema von f nach Waierstrass.

Dann stellst du deine Nebenbedingung auf, indem du die Funktion g : |R^2 —> R, g(x,y) := 9x^2 + 4y^2 - 36, definierst.

Dann ist die Funktion g so gewählt, sodass die obige Menge M die c-Niveaumenge für c := 0 ist. Besser die Menge M ist gerade die Urbildmenge für c = g(x,y) = 0, also gilt gerade M = g^(-1)({0}).

Nun bildest du dann deine Langrangesche Funktion L : |R^3 —> |R,  L(x,y,λ) := f(x,y) + λ*g(x,y), wovon du dann den Gradienten grad(L) ∈ |R^3 bestimmst und diesen zusätzlich noch in allen Komponenten mit 0 gleichsetzt. Von den Punkten (x,y,λ) ∈ |R^3 die den Gradienten grad(L) verschwinden lassen, nimmst du dann die x,y-Komponenten. (Du konzentrierst dich also am Ende nur für die x,y Komponenten). Diese Punkte (x,y) ∈ |R^2 sind dann deine möglichen Extrema von f auf M.

Am Ende machst du dann den Vergleich mit den Funktionswerten bzgl. f, wovon du dann dein Fazit ziehst, was jetzt das Maximum und Minimum ist.

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Meine Lösung:

Die Langrange Funktion setze ich als

L(x,y,λ) := f(x,y) + λg(x,y) =

x^2 + y^2 + λ(9x^2 + 4y^2 - 36).

Nun berechnen wir den Gradienten:

grad(L) = (2x + 18λx, 2y + 8λy, g(x,y))

Setze diesen in allen Komponenten gleich 0.

Wir erhalten das Gleichungssystem:

I: 2x + 18λx = 0

II: 2y + 8λy = 0

III: 9x^2 + 4y^2 - 36 = 0

Gleichung I lässt sich umschreiben in die Gleichung  x (2+18λ) = 0. Diese kann entweder für x = 0 oder 2+18λ = 0 erfüllt sein. Sei x = 0, dann ist nach III: y ∈ {-3,3}. Also sind schon mal die Punkte (0,-3) und (0,3) Kandidaten. Sei nun x ≠ 0, also 2+18λ = 0, so ist dann λ = -1/9. Einsetzen in II liefert die Gleichung 2y -(8/9)y = 0 => y = 0. Daraus folgt nach III x ∈ {-2,2}. Also sind die Punkte (-2,0) und (2,0) weitere Kandidaten. Zum Schluss machst du dann den Wertevergleich. Das überlasse ich dir :)

Comments

Ich glaube, das Problem ist nicht die Vorgehensweise allgemein. Irgendwie gehst du nicht auf die konkrete Problematik des FS ein...

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Ja ich habe nicht ganz verstanden, was er meint. Er hat ja anscheinend eine Lösung und deswegen habe ich jetzt mal meine Lösung dazu hochgeladen, das er es eben vergleichen kann. (Normalerweise lade ich ja keine Lösungen mehr hoch, aber in dem Falle hat der FS ja selber auch was gemacht)

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Text erkannt:

1.)
\( \begin{aligned} \mathcal{S}(x, y, s)=f(x, y)+s \cdot g(x, y) \text { einsetzen } \Rightarrow & =x^{2}+y^{2}+s \cdot\left(9 x^{2}+4 y^{2}-36\right) \\ & =x^{2}+y^{2}+9 s x^{2}+4 s y^{2}-36 s \end{aligned} \)
2.) Abl. nach homponenten? I \( \mathcal{L}_{x}=2 x+188 x \)
\( \begin{array}{l} \text { II } \mathcal{L}_{y}=2 y+8 \delta_{y} \\ \text { III } \left.\mathcal{L}_{s}=9 x^{2}+4 y_{3} 2-36 \text { (eij and s } x_{1, y}\right) \end{array} \)
3.) Extrem stellen suchen (1.Ablturen gleich \( =0 \) setren)
unsctllen I \( 2 x+18 \delta x=0 \quad p \underset{w}{x} \cdot(2+18 \delta)=0 \)
\( \begin{array}{c} x=0 \text { in III } y_{y}^{2}-36=0=0 \quad y_{1}=3 ; y_{2}=-\frac{1 \pi}{3} \\ \delta=-\frac{1}{9} \text { in II } 2 y+8 \cdot\left(-\frac{1}{9}\right) \cdot y=0 \\ 2 y-\frac{8}{9} y=0 \\ y \cdot\left(2 \cdot \frac{8}{9}\right)=0=0 y=0 \end{array} \)
\( \frac{x=0}{14 \frac{\pi I}{3}} 0 . \delta=-\frac{2}{18}=0 \quad s=-\frac{1}{5} \text { in } \pi \)
\( y=0 \) in III \( 9 x^{2}-36=0=0 x_{1}=2 ; x_{2}=-2 / / \)

Fall 1. \( x=0 \quad s(0,5)=4 y^{2}-36=0 \quad \Rightarrow \quad y_{1}=3 ; y_{2}=-3 \)
Extremalhandidaten: \( P_{1}=\binom{0}{3} ; P_{2}=\binom{0}{-3} \)
\( F_{\text {all 2. }} s=-\frac{1}{5} \quad s=0 \quad s(x, 0)=5 x^{2}-36=0 \quad \Rightarrow \quad x_{1}=2 ; x_{2}=-2 \)

Extremalhandidaten: \( P_{3}=\binom{2}{0}, P_{4}=\binom{-2}{0} \)

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Vielen Dank, für die Ausführlich Erklärung.

Oben ist meine Rechnung und unten in etwa die Lösung.

Ich hab anscheint viel zu kompliziert gedacht und das offensichtliche nicht gesehen, alle Fragen haben sich geklärt. Danke

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Vielleicht hilft Dir die räumliche Anschauung

Die blaue Fläche ist der Graph von \(f\). Die gelbe Kurve sind die Punkte auf dem Graphen, die die Nebenbedingung \(g(x,y)=0\) erfüllen. Die Maxima und Minima sind rot markert.

(klick auf das Bild)

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@Werner-Salomon

Eigentlich sucht man doch auf der Ellipse \(9x^2+4y^2=36\) die Punkte mit dem größten bzw. kleinsten (quadratischen) Abstand vom Ursprung.

Daher könnte ein 2-dimensionales Bild sogar noch anschaulicher sein.

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Daher könnte ein 2-dimensionales Bild sogar noch anschaulicher sein.

Ja das stimmt. Unten sieht man die Nebenbedingung \(g\) in gelb und Ihren Gradienten als gelbe Strecke. Der blaue Kreis ist eine Isohypse (Höhenlinie) von \(f\). Und die blaue Strecke soll den Gradienten von \(f\) darstellem

Der Wert den \(f\) an der Position des schwarzen Punktes annimmt, wird angezeigt.

https://www.desmos.com/calculator/hckwc4lxux

Der Punkt lässt sich mit der Maus verschieben. Und dann kann man schön sehen, dass die Richtungen der Gradienten nur auf den Koordinatenachsen zusammen fallen. Und das ist ja genau das was der Lagrange-Multiplikator macht !$$\nabla f = \lambda \nabla g$$wo diese Gleichung eine Lösung von \(\lambda \ne 0\) hat, befinden sich die Kandidaten für die Extrempunkte.

Answer 2

In der LSG. Steht jetzt aber, dass bei dem zweiten Fall Lamda=-1/9 und dann y=0…

Der Rest scheint richtig zu sein, aber wofür muss ich diese Bedingung aufstellen?

Müssen tust du schon einmal gar nichts. Man kann es durchaus so machen. Die Frage ist dann allerdings, woher du weißt, dass für \(x=0\) oder \(y=0\) Extrema vorliegen müssen. Ich könnte ja auch \(x=1\) wählen und dann das \(y\) berechnen. Hier fehlt die Argumentation.

Wenn ich das jedoch mit y machen, nicht. Ich hab erlaube ich irgendwo eine. Ganz doofen Denkfehler.

Das ist ohne deine Rechnung immer nur schwierig nachvollziehbar. Also liefere deine Rechnung nach, dann kann man dir das beantworten.

Muss ich da noch mehr klassifizieren

Nunja, wie klassifiziert man denn Extrema? Es gibt nur Maxima und Minima, evtl. kann man noch zwischen lokal und global unterscheiden.

Vor kurzem gab es ein ähnliches Beispiel:

https://www.mathelounge.de/1085229/welchem-punkt-nimmt-skalarfeld-hochsten-niedrigsten-wert

Answer 3

Die Lagrange-Funktion ist

L(x, y, k) = x^2 + y^2 - k·(9·x^2 + 4·y^2 - 36)

Wir bilden die partiellen Ableitungen und setzen diese gleich 0.

2·x·(1 - 9·k) = 0
2·y·(1 - 4·k) = 0
- 9·x^2 - 4·y^2 + 36 = 0

Wenn ich das Gleichungssystem löse, erhalte ich die Lösungen

x = 0 ∧ y = 3 ∧ k = 1/4
x = 0 ∧ y = -3 ∧ k = 1/4
x = 2 ∧ y = 0 ∧ k = 1/9
x = -2 ∧ y = 0 ∧ k = 1/9

Wo ist denn jetzt genau das Problem. Das sind doch die Kandidaten, die du auch heraus hast, oder nicht?