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Wenn du dir mal die \(\red{\text{Sinus}}\)-Fuktion und die \(\blue{\text{Cosinus}}\)-Funktion als Graph ansiehst, stellst du fest, dass es zu jedem Funktionswert (auf der y-Achse) unendlich viele Winkel (auf der x-Achse) gibt.
~plot~ cos(x*pi/180) ; sin(x*pi/180) ; [[-500|500|-1,2|1,2]] ~plot~
Zu diesen Winkelfunktionen gibt es Umkehrfunktionen, denen du den Sinus- bzw. Cosinus-Wert übergibst, und die dir einen dieser unendlich vielen Winkel berechnen:$$\red{\arcsin}\colon[-1;1]\to[-90^\circ|90^\circ]\quad;\quad \blue{\arccos}\colon\mathbb[-1;1]\to[0^\circ|180^\circ]$$
Der zurückgelieferte Funktionswert wird auch "Hauptwert" genannt.
Du sollst die Winkel aus dem Intervall \([0^\circ|180^\circ]\) angeben. Der Hauptwert der \(\arccos\)-Funktion liegt immer in diesem Intervall. Der Hauptwert der \(\arcsin\)-Funktion liegt aber im Intervall \([-90^\circ|90^\circ]\), kann also negativ sein. In diesem Fall kannst du ausnutzen, dass gilt$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$$
Das heißt, wenn der Hauptwert der \(\arcsin\)-Funktion negativ sein sollte, addierst du einfach \(180^\circ\) dazu und hast dann eine Lösung im geforderten Intervall.
Im konkreten Fall liefert der Taschenrechner, wenn er auf Gradmaß DEG eingestellt ist:
$$\sin\alpha=0,707\implies\alpha=\arcsin(0,707)\approx45^\circ$$$$\cos\alpha=-0,819\implies\alpha=\arccos(-0,819)\approx145^\circ$$
