Pascal‘sches Dreieck (Nach x auflösen)

Question

Aufgabe:

Ansatz:

Text erkannt:

\( \begin{aligned}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{5} & =x^{5}-5 x^{4} \cdot \frac{1}{2}+10 \cdot x^{3} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-10 x^{2} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+5 x \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{4}-\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \\ & =x^{5}-2,5 x^{4}+2,5 x^{3}-1,25 x^{2}+0,3125 x-0,03125\end{aligned} \)

Ich habe hier die Klammer aufgelöst

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}x^{5}-2,5 x^{4}+2,5 x^{3}-1,25 x^{2}+0,3125 x-0,03125=x^{5} 1-x^{5} \\ -2,5 x^{4}+2,5 x^{3}-1,25 x^{2}+0,3125 x-0,03125=0\end{array} \)

Und hier habe ich es gleich Null gesetzt. Wie komme ich weiter? Und ist es richtig was ich bisher gemacht habe?

Comments

Vorsichtshalber weise ich darauf hin, dass das Argument "Wurzel ziehen" auch darauf beruht, dass 5 ungerade ist. Andernfalls wären weitere Überlegungen notwendig.

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Im Bild sieht es so aus: keine Lösung ∈ ℝ

Answer 1

Um Gottes Willen.

Wenn \((x-\frac{1}{2})^5=0\) sein soll, folgt daraus sofort \(x=\frac{1}{2}\).

Schlag mal nach: Linearfaktorzerlegung. Wenn es darum geht, die Nullstellen solcher Ausdrücke zu finden, kann man diese für gewöhnlich direkt ablesen. Genau dafür ist diese Darstellung da!

Edit: Hat man auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Potenz, bietet sich grundsätzlich Wurzelziehen an. Aus \((x-\frac{1}{2})^5=x^5\) wird dann \(x-\frac{1}{2}=x\).

Man kann sich aber auch beide Terme als Graph überlegen und dann sieht man, dass diese Gleichung keine Lösung haben kann, da der "linke Graph" einfach nur nach rechts verschoben wird.

Comments

Es ist aber (x - 1/2)^5 = x^5 und nicht gleich 0

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Entschuldige. Habe ich übersehen. Aber auch dann geht es einfacher: Ziehe die 5. Wurzel und du hast \(x-\frac{1}{2}=x\).

Answer 2

Hallo.

Ich unterteile es mal in zwei Schritten

1) Ausdruck ausmultiplizieren

Du hast es richtig ausgerechnet!

Hier kannst du es selber nochmal vergleichen:

wobei hier a := x und b := 1/2 ist.

2) Nullstellen (Ich habe es erstmal überlesen, hier zu deiner Frage jetzt):

Es geht viel simpler, indem du hier die faktorisierte Form des linken Ausdrucks nutzt.

Die Gleichung (x-1/2)^5 = x^5 hat keine reele Lösung, da sonst die Gleichung x-1/2 = x lösbar sein müsste*, was sie nicht ist. Subtrahiere dafür auf beiden Seiten das x und du erhältst deinen Widerspruch.

*Das ist so, da ja a^5 = b^5 nur gelten kann, wenn schon für die Basen a,b ∈ |R die Gleichheit gilt, also a = b. (Das gilt insbesondere nur in |R)

Answer 3

Du willst also die Gleichung \((x-0.5)^5=x^5\) lösen. Das geht am einfachsten, indem Du auf beiden Seiten die 5.Wurzel ziehst. Das ist eine erlaubte Operation (in \(\R\), ich gehe davon aus, dass es um reelle Zahlen geht). Das führt auf \(x-0.5=x\) und Du siehst, die Gleichung hat keine Lösung. Fertig.

Answer 4

Ich ergänze mal diese Lösung, da bisher der Weg über die komplexen Wurzeln der 1 noch nicht erwähnt wurde.

Betrachte für \(x \neq 0\)

\(z = \frac{x-\frac 12}x \Leftrightarrow x= \frac 12\cdot \frac 1{1-z} \quad (1)\).

Dann ist folgende Gleichung zu lösen:

\(z^5 = 1 \Rightarrow z_k = e^{i\frac{2\pi k}5}\) mit \(k=0,\ldots, 4\quad (2)\)

\(z_0 = 1\) entfällt als Lösung wegen (1).

Die restlichen Lösungen der polynomialen Ausgangsgleichung sind somit:

\(x_k = \frac 12\cdot \frac 1{1-z_k}\) mit \(z_k = e^{i\frac{2\pi k}5}\) für \(k=1,\ldots, 4\)