Zeigen Sie, dass das Viereck ein Quadrat ist. Volumen pyramide.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(1|1|2), B(3|0|0), C (5|2|1), D (3|3|3) und S (1|7|-4)

a) zeigen sie, dass das Viereck ABCD Quadrat ist.

b) Die Punkte A, B, C und D liegen in der Ebene E:x = (1|1|2) + r * (2|-1|-2) + s * (2|2|1). Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.

Problem/Ansatz:

Hallo, bitte möglichst einfach erklären. Mit Lösung bitte, damit ich die Aufgabe überprüfen kann.

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Vom Duplikat:

Titel: zeigen sie, dass das Viereck ABCD Quadrat ist.

Stichworte: vektoren,geometrie,punkte,viereck

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(1|1|2), B(3|0|0), C (5|2|1), D (3|3|3) und S (1|7|-4)

a) zeigen sie, dass das Viereck ABCD Quadrat ist.

b) Die Punkte A, B, C und D liegen in der Ebene E:x = (1|1|2) + r * (2|-1|-2) + s * (2|2|1). Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.

Wie kommen man auf 24 VE, habe für AS 6sqrt 2 raus, dann kommt 18 sqrt 2 raus. wo liegt mein Fehler? Und wie macht man das mit der Ebenengleichung, ich habe für n = (3|(-6)|6) raus für d= 9. Meine Lotgerade lautet g:x= (1|7|(-4)) + r (3|-6|6) hab in die Ebenengleichung umgewandelt und für r 8/9 raus. R in g eingesetzt und (1|29/3|-4/9) raus. wie kann ich damit das Volumen berechnen?

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P = Schnittpunkt von E und g

\(P=\begin{pmatrix} 1\\7\\-4 \end{pmatrix}+\frac{8}{9}\cdot\begin{pmatrix} 3\\-6\\6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+\frac{24}{9}\\[5pt]7-\frac{48}{9}\\[5pt]-4+\frac{48}{9} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{11}{3}\\[5pt]\frac{5}3{}\\[5pt]\frac{4}{3} \end{pmatrix}\)

h = Höhe der Pyramide = Abstand von P zu S

\(h=\sqrt{(\frac{11}{3}-1)^2+(\frac{5}{3}-7)^2+(\frac{4}{3}+4)^2}=\sqrt{64}=8\)

\(V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 8=24\)

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Es gibt viele verschiedene Wege, die Aufgabe zu lösen. Es ist also nicht unbedingt möglich, anhand eines fremden Lösungsweges zu überprüfen, ob dein Lösungsweg richtig ist.

Answer 1

a) Zeige, dass die vier Kanten AB, BC, CD und DA gleich lang sind und die vier Winkel je 90° sind.

b) Bestimme den Abstand von S zur Ebene.

Mit Lösung bitte, damit ich die Aufgabe überprüfen kann.

Wenn Du Deine Lösung einstellst, wird sicher jemand sie gerne überprüfen.

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Der Inhalt der Grundfläche beträgt 9. Das folgt aus meinem Lösungshinweis zu a).

Die Höhe der Pyramide beträgt 8. Das folgt aus meinem Lösungshinweis zu b).

Answer 2

Hallo.

a) Weise die Orthogonalität von den Strecken der Punkte nach, sowohl das alle Seiten gleich lang sind. Ich unterteile es in zwei Schritten.

1) Orthogonalität:

Du musst also folgendes zeigen:

-AB ist senkrecht zu BC

-BC ist senkrecht zu CD

-CD ist senkrecht zu AD

Das macht man üblich mit dem Skalarpodukt. Berechne also dafür die Strecken AB := B-A, BC := C-B, CD := D-C und AD := D-A und zeige das die Skalarprodukte davon verschwinden, also 0 sind.

(Um dir das vorstellen zu können, skizziere das Quadrat mal und dann weisst du was die Strecken auf sich haben)

2) Gleichheit der Seitenlängen:

Um zu zeigen das alle Seiten gleichlang sind, bestimme die Beträge der Strecken, also |AB|, |BC|, |CD| und |DA| und zeige, das sie alle gleich sind. Der Betrag für einen Vektor (x,y,z)^T ist definiert als

|(x,y,z)^T| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), wobei sqrt für die Quadratwurzel steht.

b) Hier gibt es eine Formel für Volumen mit dem Kreuzprodukt für Pyramiden. Habt ihr das nicht in euren Unterlagen? Die Formel ist eigentlich bekannt.

Comments

Wozu ist die Ebenengleichung gegeben? Muss ich damit nicht irgendwie die Lotgerade bestimmen?

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Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der Spitze von der Grundfläche. Die Höhe wird für die Berechnung des Volumens benötigt. Übertragen auf dein Problem ist das also der Abstand von \(S\) zur Ebene \(E\) und das funktioniert mit einer Lotgeraden, ja.

Lass dich nicht davon verwirren, dass hier wieder die Bekanntheit bestimmter Formeln angenommen wird. :)

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@Apfelmännchen

Ich kann hier auch das ganze wieder vorrechen, aber diesmal beschwert ihr euch dann wieder. Ich habe ihm einen Tipp gegeben, wo er dann auch bischen selber nachdenken kann. Die Formel müsste unabhängig davon auch in seinen Unterlagen stehen

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Nicht jeder nimmt diese Formel in der Schule durch. Bevor also das Niveau des FS überhaupt nicht geklärt ist, sollte man mit solchen Aussagen wie "ist eigentlich bekannt" vorsichtig sein. Wie gesagt, die wenigstens kennen diese Formel, zumindest aus der Schule und der Kommentar des FS zeigt ja auch, dass die Formel anscheinend nicht bekannt ist.

Beschwert habe ich mich übrigens nicht, sondern die Frage des FS beantwortet. Also alles gut.

Answer 3

zu a) Rechne nach, dass für die beiden Vektoren \(\overrightarrow{AC}\) und \(\overrightarrow{BD}\) folgendes gilt:

(1) Ihr Skalarprodukt ist null und

(2) Beide Vektoren sind gleich lang.

Comments

(3) fehlt .

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(3) ...und halbieren sich gegenseitig.

:-)

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wobei das dann auf die Strecken, nicht auf die Vektoren zutrifft.

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Ja, du hast recht. Ich werde mir noch eine Berichtigung überlegen und dann später ergänzen.

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Zeige \(M_{AC}=M_{BD}\). Für Mittelpunkte gibt es ja eine tolle Formel.

Answer 4

A(1|1|2), B(3|0|0), C(5|2|1), D(3|3|3) und S(1|7|-4)

a)

AB = B - A = [2, -1, -2]

AD = [2, 2, 1]

BC = [2, 2, 1]

Es gilt

AD = BC sowie |AB| = |AD| sowie AB * AD = 0. Daher ist ABCD ein Quadrat

b)

AS = [0, 6, -6]

V = 1/3 * | ([2, -1, -2] x [2, 2, 1]) * [0, 6, -6] | = 24 VE

Da die Ebene gegeben ist, könntest du auch die Fläche des Quadrates und den Abstand von S zur Ebene bestimmen. Du solltest auf das gleiche Volumen kommen.

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Wie kommen sie auf 24 VE raus, habe für AS 6sqrt 2 raus, dann kommt 18 sqrt 2 raus. wo liegt mein Fehler? Und wie macht man das mit der Ebenengleichung, ich habe für n = (3|(-6)|6) raus für d= 9. Meine Lotgerade lautet g:x= (1|7|(-4)) + r (3|-6|6) hab in die Ebenengleichung umgewandelt und für r 8/9 raus. R in g eingesetzt und (1|29/3|-4/9) raus. wie kann ich damit das Volumen berechnen?

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Wie kommen sie auf 24 VE raus, habe für AS 6sqrt 2 raus

AS ist nicht die Höhe, da AS nicht senkrecht auf der Grundseite steht.

Die Höhe ist bei dir

h = |8/9·(3 | -6 | 6) | = 8 LE

Und dann ist das Volumen

V = 1/3 * 3^2 * 8 = 24 VE