Begründen Sie, dass die folgende Kurve rektifizierbar ist´.

Question

Kann jemand meine Lösung mal überprüfen? :) 

Aufgabe
Begründen Sie, dass die folgenden Kurven
rektifizierbar sind und berechnen Sie ihre Längen bezüglich der Euklidischen Norm. Berechnen Sie auch die natürliche Parametrisierung.

Lösung

Text erkannt:

Aulgabe)
$r:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(t, t^{2}, \frac{2 t^{3}}{3}\right)$

Es gilt: $\gamma(t)=\left(1,2 t, 2 t^{2}\right)$ und $\mid \dot{r}(t) \|=\sqrt{1+4 t^{2}+4 t^{4}}=\sqrt{\left(2 t^{2}+1\right)^{2}}=2 t^{2}+1$
$\begin{array}{l} \int \limits_{0}^{1}\|\dot{\gamma}(t)\| d t=\int \limits_{0}^{1} 2 t^{2}+1 d t \\ =\left[\frac{2}{3} t^{3}+t\right]_{0}^{1}=\frac{5}{3} \\ \left.s:[0,1] \rightarrow\left[0, \frac{5}{3}\right], t t\right) \int \limits_{0}^{t}\|\gamma(t)\|=2 t^{2}+1-1=2 t^{2} \end{array}$

Unlchrabbildung: $s=2 t^{2}$
$\Leftrightarrow t=\sqrt{\hat{\imath}}$
L) $\left.\varphi:\left[0, \frac{5}{3}\right] \rightarrow[0,7], t H\right) \sqrt{\hat{2} t}$
natirliche Paramenisiorng
$\left.\gamma \circ \varphi\left[0, \frac{5}{3}\right] \rightarrow 12^{n}, t t\right) r(\varphi(t))=\left(\sqrt{\frac{1}{2} t}, \frac{1}{2} t, 2 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{2}} t^{5}}{3}\right)$

Text erkannt:

(b) $\gamma_{2}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(t, t^{2}, \frac{2 t^{3}}{3}\right)$

Answer 1

Hallo.

Zeige das die Kurve rektifizierbar ist: Da reicht es zu zeigen, das die Kurve stetig-differenzierbar ist, denn daraus folgt bereits schon die Endlichkeit der Länge. Die Länge ist wegen der Stetig-Differenzierbarkeit von der Kurve, zugleich auch als das Integral der 2-Norm der Ableitung gegeben, was du richtig erkannt hast und richtig berechnet hast. Ist also alles richtig.

Comments

Danke dir! Und die natürliche Parametrisierung stimmt auch ?
LG

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Die Stammfunktion von der Norm der Ableitung, also 2t² + 1 ist ja (2/3)t³ + t. Das hast du ja auch bei der Berechnung der Länge richtig geschrieben. Jedoch hast du bei der Abbildung s unten was anderes raus…?

Ich meine also, wie kommst du hier auf 2t² bei

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Ah stimmt, danke dir.
Dann würde ich s = (2/3)t3 + t verwenden. Gibt es dazu überhaupt eine Umkehrabbildung?
LG

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Ja, die Funktion s(t) := 2t³ / 3 + t, ist in [0,1] invertierbar, da sie dort bijektiv ist.

Die Frage ist, ob du das hier brauchst. Was steht denn in deinen Unterlagen dazu?

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Ich brauche es da nicht, ich wollte es nur zur Übung machen. Natürliche Parametrisierung war bei dem Aufgabenteil davor gefragt, aber ich wollte das dann noch bei diesem Aufgabenteil üben. Jetzt weiß ich warum es hier nicht gefragt war haha.

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Okay ja das macht jetzt für mich auch Sinn, denn das wäre hier auch fast unmöglich gewesen :)

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Die Funktion s, hat hier auch keine explizite Umkehrfunktion wie z.B. die Funktion f(x) := x+1, wessen Umkehrfunktion explizit f^(-1)(y) = y-1 ist. Man weiss nur, das s(t) = 2t³ / 3 + t invertierbar ist für jedes t ∈ [0,1], da s eben bijektiv in [0,1] ist.