Sei (V, ( , )) ein Euklidischer Vektorraum und sei M eine Teilmenge von V .

Question

1. Zeigen Sie, dass M^⊥ ein Unterraum von V ist.
2. Zeigen Sie, dass M^⊥= [M]^⊥ gilt.

 

So langsam geht es dem Endspurt entgegen und es wäre toll, wenn jemand die Aufgabe lösen/erklären könnte :)

Comments

Niemand der hier weiterhelfen könnte? :(

---

Kannst du etwas zu diesen Symbolen sagen:

Dem umgekehrten T und den eckigen Klammern.

Du schreibst hier Wurzel. Aber Wurzel aus einer Menge?

---

Wusste nicht wirklich, wie man diese eckige Klammer macht.

---

@Blade. Weisst du eventuell, wie man die Symbole der letzten Zeile liest. Könnte bei der Suche in Wikipedia helfen.

---

 

M⊥ bedeutet orthogonal und <M> ist die Lineare Hülle

---

Dass M^⊥ die Menge aller orthogonalen von V, sollte man aber schon sagen können,

wenn man die Aufgabe lösen möchte.... :-)

Answer 1

 

Habe da einen Ansatz und würde gerne wissen ob es völliger Schwachsinn ist oder doch eventuell richtig:

Bei 1 ist einmal zu zeigen dass  M⊥  eine untergruppe ist: d.h. dass Neutrale und Inverse Element sind in  M⊥  . Das Neutrale Element von dem Euklidischen Vektorraum ist 0 und nach Def. von M⊥  [(v,v')=0 für alle v,v'∈ M mit v≠v'] ist 0∈M⊥  ist und das Inverse ist dann v' ∈M. Jetzt muss man noch zeigen dass x*v € M⊥  mit x€ K und v∈M⊥

 

Comments

Ok. Das neutrale Element hast du. Dein Unterraum ist also nicht leer.

Achtung: Du brauchst einen Unterraum und keine Untergruppe.

Jetzt brauchst du eigentlich nur noch die Abgeschlossenheit bezügl. Addition von Unterraumelementen und Mult. von Skalaren mit Unterraumelementen.

Die lineare Hülle ist dann auf jeden Fall der verlangte Abschluss von M.

---

Aber muss es unbedingt addition sein? Weil hier als verknüpfung "," gegeben ist

---

Gemäss Wikipedia gilt:

als euklidischer Vektorraum (einem über  definierten Vektorraum mit Skalarprodukt)

und in einem Vektorraum hast du dann (wieder gemäss Wkipedia) Vektoraddition und Mult mit Skalaren.

Hier ist zusätzlich wegen dem Skalarprodukt mit ( , )=0 auch eine Orthogonalität von Vektoren definiert.

---

Habe noch eine Frage:

Bei der 2. Teilaufgabe habe ich folgenden Ansatz:

Zu zeigen: M⊥ ⊂ <M>⊥ und M⊥⊃<M>⊥

 M⊥ ⊂ <M>⊥:

Folgt aus der Definition der linearen Hülle.

M⊥⊃<M>⊥:

Sei t= x₁*m₁+...+ x_n*m_n∈<M>⊥ mit x_i∈K, m_i∈M⊥

Da M⊥ ein Unterraum ist => x_i*v_i∈M⊥ und x_j*v_j+ x_i*v_i ∈ M⊥

=> M⊥ = <M>⊥

kann man es so machen?

---

 

Ich hätte das jetzt genau umgekehrt gesehen. 

Du schreibst:

 

 M⊥ ⊂ <M>⊥:

Folgt aus der Definition der linearen Hülle.

Wenn man das Orthogonale zur linearen Hülle bestimmt, könnte da doch nach Definition eher weniger drinn sein, da <M> vielleicht mehr Elemente hat als M.

und dann einfach gezeigt, dass linerakombinationen von Elementen von M nicht plötzlich nicht mehr senktrecht zu einem Element von M⊥ sind.

Bei der 2. Teilaufgabe habe ich folgenden Ansatz:

Zu zeigen: M⊥ ⊂ <M>⊥ und M⊥⊃<M>⊥

M⊥⊃<M>⊥

Folgt aus der Definition der linearen Hülle.

M⊥ ⊂ <M>⊥

Sei t= x₁*m₁+...+ x_n*m_n∈<M>  mit x_i∈K, m_i∈M

und dann irgendwie weiter. Kann das aber nicht einfach so formal notieren… Besser, wenn da nochmals jemand reinschaut.

=> M⊥ = <M>⊥

 

---

M⊥⊃<M>⊥ das hab ich auch so gemeint nur die teilmengezeichen verwechselt^^

---

Könnte jemand eventuell daraus noch eine richtige Antwort machen? Ich brauche  die Punkte. Es handelt sich um das letzte Blatt und ansonsten bekomme ich meine Zulassung nicht...

---

Ja wäre echt sehr nett. Ist bei mir genauso :/

---

hätte man sich auch früher überlegen müssen... gab genug übungsblätter bei denen die mindestpunktzahl geschenkt war. und auf dieser seite war auch so gut wie jede aufgabe dokumentiert. wofür studiert ihr mathematik?

---

weil es für informatik leider pflicht ist -.-

---

und informatik besteht ja bloß aus programmieren... hat rein gar nichts mit mathe zu tun.

---

mensch und ich dachte das hätte was mit mathe zu tun. da habe ich mich wohl geirrt :(

aber ist jetzt auch gut mit dem gespamme ;)

---

So viel auch wieder nicht ;)

---

so ist es ;)

es scheint aber trotzdem keine brauchbaren lösungen für das letzte blatt zu geben...

---

Leider nicht, sehr schade. :(