Polynomfunktion Nulstellen bestimmen

Question

Aufgabe:Nebenstehend ist eine Pollynomfunktion f vom Grad 3 gekennzeichnet.

Die Polynomfunktionen f1,f2,f3 und f4 sind definiert durch:

f1(x)=f(x)-1

f2(x)=f(x)-2

f3(x)=f(x)-3

f4(x)= -f(x)

Gib an, wie viele Nullstellen diese Funktionen jeweils besitzen !

…

Problem/Ansatz: Wie soll ich beginnen. Das Bild ist verkehrt

Lg Derrien

Comments

f1(x) = f(x)-1 = 0  ⇔  f(x) = 1

Answer 1

$f(x)=a(x+1,5)(x-3)^2$

Y$(0|2)$

$f(0)=a(0+1,5)(0-3)^2=13,5a=2$

$a=\frac{4}{27}$

$f(x)=\frac{4}{27}(x+1,5)(x-3)^2$

$f_1(x)=f(x)-1$:

$f_1(x)=\frac{4}{27}(x+1,5)(x-3)^2-1$ hat 3 Nullstellen, weil der Hochpunkt nun bei Y´$(0|1)$ liegt. Statt der doppelten Nullstelle bei $x=3$ gibt es nun 3 einfache Nullstellen, weil die linke Nullstelle nun weiter nach links rutscht.

Überlege nun die weiteren Funktionen.

Comments

Leider verfehlt das völlig die Intention der Aufgabe. Siehe Antwort von nudger.

Answer 2

Hier ist fast nichts zu rechnen, und Du brauchst auch nicht über die Koeffizienten nachzudenken.

Der Graph von f ist gegeben. Überlege nun, wenn das also f ist, wie dann der Graph von f1 aussieht (Tipp: er ist verschoben gegenüber dem von f, mach Dir klar wie). Kannst als Test auch ein paar Funktionswerte von f1 ausrechnen (die von f entnimmst Du dem Bild). Dann siehst Du auch, was mit den Nullstellen passiert (wo schneidet der Graph die x-Achse?).

Wenn Du das mit f1 verstanden hast, gehen die anderen Beispiele analog (f4 ist etwas anders).

Comments

Hier ist fast nichts zu rechnen
hat er nicht verstanden

Du brauchst auch nicht über die Koeffizienten nachzudenken
hat Moliets nämlich für ihn gemacht ⇒  beste Antwort

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Ist ja nichts neues hier. Glaube auch nicht, dass die Aufgabe so gedacht war.

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Glaube auch nicht, dass die Aufgabe so gedacht war.

Ich glaube nicht mal, dass die Antwortgeber nachgedacht haben.

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Immerhin einer, der die Intention der Aufgabe verstanden hat. Daumen dafür.

Answer 3

Hallo.

Das Polynom f soll dem Grad 3 haben. Schreibe also f als f = ax³ + bx² +cx+d mit fest gewähltem Koeffizientenvektor (a,b,c,d)^T ∈ |R⁴.

Dann ist z.B. f_1 = f-1 = ax³ +bx² +cx+d-1

Mache nun Fallunterscheidungen. Also was wenn f selbst z.B. drei Nullstellen hat? Beachte dabei das 3 ein ungerader Grad ist, also hat f mindestens eine reele Nullstelle. (Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reele Nullstelle)

Answer 4

Wie soll ich beginnen?

Du solltest dir überlegen, was die vier aufgezählten Transformationen mit dem Graphen von f machen und wie sich das auf die Nullstellen von f_1 bis f_4 auswirkt. Dazu muss gar nichts gerechnet werden, vielmehr können (und dürfen) die Ergebnisse dieser Überlegungen sofort aufgeschrieben werden.

Der Operator "Gib an..." gibt schon den Hinweis, dass das Lösen der Aufgabe nicht viel Aufwand erfordert.

Comments

was die vier aufgezählten Transformationen mit dem Graphen von f machen

alternativ : was sie mit der x-Achse machen, siehe meinen Kommentar ganz oben; d.h. statt mit der x-Achse g(x) = 0 sind dann (bei 1.) Schnittpunkte mit der Geraden g(x) = 1 zu zählen.

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alternativ : was sie mit der x-Achse machen

Ja, das ist auch eine schöne Betrachtungsweise.