Berechnung der Medikamentenab-/zunahme

Question

Aufgabe:

Nach der Einnahme eines Medikamentes wird die Konzentration des Wirkstoffs durch die Funktion

k(t) = 1/18*t *(t − 9)^2 beschrieben (t in Stunden, k in mg/ml).
a) Bestimme den Zeitpunkt, an dem das Medikament am schnellsten abgebaut wird und die zugehörige Änderungsrate.
b) Ermittle die durchschnittliche Medikamentenmenge, die in diesem Zeitraum in einem ml Blut enthalten war.
e) Ab dem Zeitpunkt des stärksten Medikamentenabbaus erhält der Patient ein Gegenmittel, so dass die Abbaurate im Weiteren konstant bleibt. Bestimme, um wie viel Minuten früher das Medikament nun vollständig abgebaut ist.

Ich versteh nicht, was man dort rechnen soll… Kann mir jemand weiterhelfen? LG

Answer 1

Nach der Einnahme eines Medikamentes wird die Konzentration des Wirkstoffs durch die Funktion
k(t) = 1/18·t·(t - 9)^2
beschrieben (t in Stunden, k in mg/ml).

a) Bestimme den Zeitpunkt, an dem das Medikament am schnellsten abgebaut wird und die zugehörige Änderungsrate.

k(t) = 1/18·t·(t - 9)^2 = 1/18·t^3 - t^2 + 9/2·t
k'(t) = 1/6·t^2 - 2·t + 9/2
k''(t) = 1/3·t - 2

k''(t) = 1/3·t - 2 = 0 → t = 6 h (VZW von - zu + und damit ein Tiefpunkt von k'(t).
k'(6) = -1.5 mg/ml pro Stunde

b) Ermittle die durchschnittliche Medikamentenmenge, die in diesem Zeitraum in einem ml Blut enthalten war.

k(t) = 1/18·t·(t - 9)^2 = 0 → t = 0 ∨ t = 9

K(t) = 1/72·t^4 - 1/3·t^3 + 9/4·t^2

(K(9) - K(0)) / (9 - 0) = 27/8 = 3.375 mg/ml → 3.375 mg

c) Ab dem Zeitpunkt des stärksten Medikamentenabbaus erhält der Patient ein Gegenmittel, sodass die Abbaurate im Weiteren konstant bleibt. Bestimme, um wie viel Minuten früher das Medikament nun vollständig abgebaut ist.

t(x) = k'(6)·(t - 6) + k(6) = 12 - 3/2·t = 0 → t = 8 h → 60 Minuten früher

Comments

Skizze:

~plot~ 1/18*x*(x-9)^2*(x>0)*(x<9);3.375;12-3/2x;[[-1|10|-1|7]] ~plot~

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Wenn man Lücken in der Aufgabenstellung durch eigene Interpretation schließt, dann sollte man das deutlich machen.

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Welche Lücken? Was ist missverständlich oder unklar?

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Wer eine andere Interpretation vertritt, der darf gerne eine alternative Antwort schreiben. Ich halte meine Interpretation für richtig. Auf nicht ganz korrekte bzw. ungenaue Aufgabenstellungen gehe ich nicht ein, Kritik an Aufgaben schreibe ich wenn, direkt an die Schulbuchverlage. So solltest du das evtl. auch handhaben. Allerdings hast du dann leider wohl sehr viel zu tun.

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Welche Lücken? Was ist missverständlich oder unklar?

z.B. was in b) genau mit "diesem Zeitraum" gemeint ist.

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Ich halte meine Interpretation für richtig

Vielleicht ist sie das sogar, das kannst du allerdings nicht aus dem vorliegenden Aufgabentext ableiten.

Dort ist von in diesem Zeitraum die Rede, ohne dass sich das "diesen" auf irgendinen vorher benannten Zeitraum bezieht. Es werden lediglich zwei Zeitpunkte genannt, nämlich der der Einnahme (t=0) und der des maximalen Abbaus (t=6). Als gemeinten Zeitraum dieses Intervall [0 , 6] zu nehmen ist eine midestens ebenso plausible Interpretation.

Ich schrieb aus folgendem Grund vom "vorliegenden Aufgabentext": Möglicherweise ist der vom Fragesteller mit "b" bezeichnete Teil im Buch der Teil c oder d und vorher ist die Nullstelle der Funktion zu berechnen und der gemeinte Zeitraum wird spezifiziert.

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Ich denke, gemeint ist der Zeitraum bis zum stärksten Abbau.

Answer 2

Ich versteh nicht, was man dort rechnen soll…

a)

Von t = 3 bis t = 9 wird die Wirkstoffkonzentration abgebaut.

Finde die Stelle in diesem Intervall, wo die Steigung am steilsten ist. Leite zu diesem Zweck die Funktion zweimal ab... Bei t = 6 wirst Du fündig.

Answer 3

Klammer ausmultiplizieren fürs Ableiten:

k(t) = 1/18*(k^3- 18k^2+81t)

a) Bestimme k''(t) = 0 , Ergebnis in k'(t) einsetzen

b)Integriere k(t) in den Grenzen und teile durch die Intervalllänge

c) Stelle die Geragengleichung g= g(x) = mx+ b auf

Verwende dazu den Punkt P für die Stelle des stärksten Abbaus und stelle die Geradengleichung auf:

g(t) = mt+b

m= Steigung im Punkt P

Setze dann P in g(t) ein und ermittle b.

Berechne abschließend g(t) = 0