Feinstaubkonzentration in Städten

Question

Aufgabe:

Seit einigen Jahren wird verstärkt über die Feinstaubbelastung in Städten diskutiert. An einer Messstation in einer Stadt wurde über einen längeren Zeitraum die Feinstaubkonzentration aufgezeichnet. Zur Modellierung der gemessenen Feinstaubkonzentration im Verlauf eines Tages zwischen 0:00 Uhr und 13:30 Uhr wird die Funktion \( f \) mit

\( f(t)=-0,008 t^{4}+0,144 t^{3}-0,47 t^{2}-0,6 t+17,6 \quad ; \quad 0 \leq t \leq 13,5 \)

verwendet. Dabei gibt \( t \) die Zeit in Stunden seit 0:00 Uhr und \( f(t) \) die Feinstaubkonzentration in \( \mu \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3} \) an.

e) Bestimme, wann die Feinstaubkonzentration am geringsten ist.

f) Bestimme die maximale Feinstaubkonzentration.

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Arbeitsblatt zu Ganzrationalen Funktionen bekommen. Mit der e)-f) habe ich Probleme,kann mir jemand helfen?

Comments

Mit der e)-f) habe ich Probleme

Was sind Deine Probleme damit?

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Ich muss ja nicht nur den Hoch bzw. Tiefpunkt sondern auch die Uhrzeit bestimmen,jedoch weiß ich nicht welche das wäre und wie die Rechnung dazu lautet.

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Die Uhrzeit ist die t-Koordinate der grün eingekreisten Punkte. Löse die Gleichung mit der Du die Extremstellen suchst nach t auf, und beachte auch die Hinweise von Apfelmännchen weiter unten zur Randwertbetrachtung. Wenn bei der Lösung für t nach dem Komma etwas steht, dann ist das der Anteil von 60 Minuten der angebrochenen Stunde, beispielsweise steht t = 5,75 für 5:45 Uhr, denn 0,75 * 60 = 45.

Answer 1

a) f(0) =

b) f(10) - f(6,5) =

c) f(10+35/60) =

d) f(t) = 14,3

e) f '(t) = 0

tE = ... ,

tE steht für Extremstelle

Werte tE in f ''(t) einsetzen: Minimum, wenn gilt f(tE) >0

f) f ''(tE) <0

g) 1)  tmax/20 - 1

2) f(t) > tmax

Comments

Ist tmax der Hochpunkt?

Danke für die Hilfe

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Ist tmax der Hochpunkt?

Ja.

Answer 2

Bei e) suchst du die Minimalstelle (Zeitpunkt). Bei f) suchst du das globale Maximum (Feinstaubkonzentration). Beides kannst du über die Bedingungen für Extrempunkte bestimmen. Beachte, dass du auch die Stellen zu den Zeiten \(t=0\) und \(t=13,5\) untersuchst (Randwertbetrachtung).

Melde dich, bei Unklarheiten oder Schwierigkeiten.

Comments

Danke für die Hilfe,wie gehe ich denn bei der g) vor?

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Der freundliche Moderator hat ja den Rest der Aufgabe leider gelöscht. ;)

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Text erkannt:

Untersuchung GANzRationaler Funktionen IM SACHZUSAMMENhANG - ÜbungSAUFGABE II
[basierend auf ZK M HT 2021]
Seit einigen Jahren wird verstärkt über die Feinstaubbelastung in Städten diskutiert. An einer Messstation in einer Stadt wurde über einen längeren Zeitraum die Feinstaubkonzentration aufgezeichnet. Zur Modellierung der gemessenen Feinstaubkonzentration im Verlauf eines Tages zwischen 0:00 Uhr und 13:30 Uhr wird die Funktion \( f \) mit
\( f(t)=-0,008 t^{4}+0,144 t^{3}-0,47 t^{2}-0,6 t+17,6 ; \quad 0 \leq t \leq 13,5 \)
verwendet. Dabei gibt \( t \) die Zeit in Stunden seit 0:00 Uhr und \( f(t) \) die Feinstaubkonzentration in \( \mu \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3} \) an.
a) Gib den Schnittpunkt mit der y-Achse an und interpretiere ihn im vorliegenden Sachzusammenhang.
b) Berechne, um wie viel \( \mu \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3} \) die Feinstaubkonzentration zwischen 6:30 Uhr und 10:00 Uhr zunimmt.
c) Berechne die Feinstaubkonzentration um 10.35 Uhr.
d) Berechne, wann die Feinstaubkonzentration \( 14 \mu \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} \) beträgt.
e) Bestimme, wann die Feinstaubkonzentration am geringsten ist.
f) Bestimme die maximale Feinstaubkonzentration.
g) Der Stadtrat fordert, dass ein Wert von \( 20 \mu \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} \) nicht überschritten werden soll.
(1) Berechne, um wie viel Prozent die in (f) ermittelte maximale Feinstaubkonzentration den Wert \( 20 \mu \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} \) überschreitet.
(2) Untersuche, in welchem Zeitraum dieser Wert überschritten wird.

Danke für die Hilfe,wie gehe ich denn bei der g) vor?

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g), (1) ist reine Prozentrechnung, ist das ein Problem? Hast Du das erledigt?

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Bei g): Hast du das Maximum schon bestimmt? Dann brauchst du nur noch Prozentrechnung. Berechne wie viel Prozent das Maximum (Prozentwert) von 20 (Grundwert) ist. Bei z. B. 120 % hätte man eine Überschreitung um 20 %.

Im zweiten Teil suchst du die Zeitpunkte, wo die Konzentration genau 20 µg/m^3 beträgt. Das liefert dir nämlich die Zeitpunkte, wo die Schwelle entweder über- oder unterschritten wird. Entweder liegt der gesuchte Zeitraum dann außerhalb oder innerhalb dieser Zeitpunkte. Das kann man sehr leicht prüfen. Mit dem errechneten Maximum sollte man dann aber leicht argumentieren können, welcher Bereich das sein muss.

Bei solchen Aufgaben ist es übrigens auch immer hilfreich, sich die Funktion einmal zeichnen zu lassen.